Псевдотензор энергии-импульса

Псевдотензор энергии-импульса — это математическая конструкция, используемая в общей теории относительности (ОТО) для описания распределения и потока энергии и импульса гравитационного поля. В отличие от тензора энергии-импульса материи, который является истинным тензором, псевдотензор не преобразуется как тензор при произвольных преобразованиях координат, что отражает невозможность локализации энергии гравитационного поля в общей теории относительности.

Определение и математическая формулировка

В общей теории относительности гравитация описывается не как сила, а как проявление искривления пространства-времени. Энергия и импульс материи описываются симметричным тензором энергии-импульса \( T^{\mu\nu} \), который удовлетворяет закону сохранения в виде ковариантной производной: \( \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0 \). Однако для гравитационного поля, которое не является материей, аналогичный тензор не может быть построен из-за принципа эквивалентности. Вместо этого вводят псевдотензор \( t^{\mu\nu} \), который вместе с тензором материи даёт сохраняющуюся величину:

\[ \partial_\mu \left( \sqrt{-g} \, (T^{\mu\nu} + t^{\mu\nu}) \right) = 0, \]

где \( g \) — определитель метрического тензора. Псевдотензор не является тензором: при преобразованиях координат он ведёт себя как тензор только в случае линейных преобразований, но не в общем случае. Это означает, что его компоненты зависят от выбора системы координат, и, следовательно, локальная плотность энергии гравитационного поля не является физически наблюдаемой величиной.

Наиболее известным вариантом псевдотензора является псевдотензор Ландау — Лифшица, предложенный Львом Ландау и Евгением Лифшицем. Он записывается через метрический тензор и его первые производные:

\[ t^{\mu\nu} = \frac{c^4}{16\pi G} \left( \partial^\mu \partial^\nu g^{\alpha\beta} \partial_\alpha \partial_\beta g^{\alpha\beta} - 2 \partial^\mu \partial^\nu g^{\alpha\beta} \partial_\alpha \partial_\beta g^{\alpha\beta} + \ldots \right), \]

где \( c \) — скорость света, \( G \) — гравитационная постоянная. Существуют и другие формулировки, например, псевдотензор Эйнштейна или псевдотензор Мёллера, которые различаются способом выделения гравитационной части из полного тензора энергии-импульса.

История и развитие концепции

Проблема локализации энергии гравитационного поля возникла сразу после создания общей теории относительности. Альберт Эйнштейн в 1916 году впервые предложил выражение для энергии гравитационного поля, которое позже было названо псевдотензором. Он исходил из того, что полная энергия изолированной системы, включая гравитацию, должна сохраняться. Однако Эйнштейн признавал, что его конструкция не является тензором и зависит от координат.

В 1940-х годах Ландау и Лифшиц предложили более симметричную форму псевдотензора, которая стала стандартной в учебниках по ОТО. Они показали, что для асимптотически плоских пространств-времён полная энергия, вычисленная с помощью псевдотензора, даёт правильное значение массы системы (например, массу чёрной дыры Шварцшильда). В 1950-х годах Кристиан Мёллер разработал альтернативный подход, основанный на суперпотенциале, который, по его утверждению, даёт более корректные результаты для замкнутых систем.

Несмотря на многолетние дискуссии, единого мнения о физической интерпретации псевдотензора не сложилось. Многие физики, включая Ричарда Фейнмана и Стивена Вайнберга, считали его полезным, но ограниченным инструментом. Современные подходы, такие как теория возмущений и численное моделирование, часто обходят проблему локализации, используя квазилокальные определения энергии.

Свойства и критика

Зависимость от координат

Основное свойство псевдотензора — его неинвариантность. В одной системе координат плотность энергии гравитационного поля может быть положительной, в другой — отрицательной или даже нулевой. Например, в плоском пространстве-времени (метрика Минковского) псевдотензор обращается в нуль, но в искривлённых координатах (например, в ускоряющейся системе отсчёта) он может давать ненулевые компоненты. Это противоречит интуитивному представлению о том, что энергия должна быть физической величиной, не зависящей от выбора наблюдателя.

Неоднозначность определения

Существует бесконечное множество псевдотензоров, отличающихся на дивергенцию антисимметричного тензора (суперпотенциала). Это означает, что локальная плотность энергии не определена однозначно. Однако полная энергия изолированной системы, интегрированная по всему пространству, может быть инвариантной, если пространство-время асимптотически плоское.

Связь с принципом эквивалентности

Принцип эквивалентности утверждает, что в локально инерциальной системе отсчёта гравитационное поле исчезает. Следовательно, в такой системе псевдотензор должен обращаться в нуль. Это согласуется с тем, что гравитационная энергия не может быть локализована в точке: она распределена по всему объёму и проявляется только в неинерциальных системах отсчёта.

Применение в физике чёрных дыр

Для чёрных дыр псевдотензор позволяет вычислить массу и угловой момент. Например, для метрики Шварцшильда полная энергия, полученная интегрированием псевдотензора, равна массе чёрной дыры \( M \). Однако внутри горизонта событий псевдотензор теряет смысл из-за сингулярности координат.

Альтернативные подходы

Из-за проблем с псевдотензором были разработаны другие методы описания энергии гравитации:

• Квазилокальная энергия — величина, определённая на замкнутой двумерной поверхности (например, на сфере), окружающей систему. Примеры: масса АДМ (Арновитта — Дезера — Мизнера) и масса Бонди — Сакса для излучающих систем.
• Тензор энергии-импульса гравитации в телепараллельной теории — альтернативной формулировке гравитации, где кручение заменяет кривизну. В этой теории можно построить истинный тензор энергии-импульса для гравитационного поля.
• Гамильтонов формализм — в канонической ОТО энергия гравитации выражается через гамильтониан, который также зависит от выбора координат.

Применение в астрофизике и космологии

Несмотря на теоретические трудности, псевдотензор находит практическое применение:

• Гравитационные волны: Псевдотензор Ландау — Лифшица используется для вычисления потока энергии, уносимого гравитационными волнами. В приближении слабого поля он даёт формулу для мощности излучения, которая подтверждена наблюдениями (например, для системы двойных пульсаров PSR B1913+16).
• Космология: В моделях Вселенной Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера псевдотензор позволяет оценить вклад гравитационного поля в полную плотность энергии, хотя его интерпретация остаётся спорной.
• Численное моделирование: При моделировании слияния чёрных дыр или нейтронных звёзд псевдотензор используется для отслеживания баланса энергии и импульса.

Критика и современное состояние

Многие физики, включая Роджера Пенроуза, критикуют псевдотензор как «нефизичный» и «координатно-зависимый». Пенроуз предложил альтернативу — квазилокальную энергию, основанную на спиновых связностях. Тем не менее, псевдотензор остаётся популярным в учебной литературе и в задачах, где требуется сохраняющаяся величина для изолированных систем. Современные исследования в области квантовой гравитации и альтернативных теорий гравитации (например, \( f(R) \)-гравитации) также обращаются к проблеме локализации энергии, но пока не дали окончательного решения.

Интересные факты

• Псевдотензор Ландау — Лифшица симметричен по индексам, что удобно для расчётов, в отличие от несимметричного псевдотензора Эйнштейна.
• В плоском пространстве-времени псевдотензор обращается в нуль, но если перейти к ускоренной системе отсчёта (например, к системе Риндлера), он становится ненулевым, что интерпретируется как энергия поля инерции.
• В 1960-х годах советский физик А. З. Петров доказал, что для метрик класса III (алгебраически специальные решения) псевдотензор можно привести к тензорному виду в специальных координатах.

Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1988.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.
• Вайнберг С. Гравитация и космология. — М.: Мир, 1975.
• Пенроуз Р. Структура пространства-времени. — М.: Мир, 1972.
• Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. — М.: Наука, 1965.