Шар, вписанный в цилиндр: соотношение объёмов¶

Шар, вписанный в цилиндр, — геометрическая конфигурация, при которой сфера касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Такая пара тел обладает жёстко связанными размерами: радиус шара равен радиусу цилиндра и половине его высоты. Благодаря этому между объёмами тел существует постоянное соотношение, позволяющее по объёму одного тела однозначно находить объём другого.

¶Условие вписанности

Цилиндр называется описанным около шара, если сфера касается:

• нижнего основания цилиндра;
• верхнего основания цилиндра;
• боковой поверхности по некоторой окружности.

Из условия касания оснований следует, что высота цилиндра равна диаметру шара:

H = 2R,

где R — радиус шара. Касание боковой поверхности означает, что радиус цилиндра совпадает с радиусом шара:

r = R.

Таким образом, у описанного цилиндра радиус основания равен радиусу шара, а высота — его диаметру. Такой цилиндр называют равносторонним: его осевое сечение представляет собой квадрат со стороной 2R.

¶Формулы объёмов

Объём шара радиуса R:

V_шара = (4/3)·π·R³.

Объём цилиндра с радиусом основания R и высотой 2R:

V_цил = π·R²·H = π·R²·(2R) = 2·π·R³.

Отношение объёмов:

V_цил / V_шара = (2·π·R³) / ((4/3)·π·R³) = 2 · 3/4 = 3/2.

Иначе говоря, объём описанного цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного шара. Это соотношение не зависит от радиуса и является постоянной величиной:

V_цил = (3/2)·V_шара.

¶Решение задачи

Пусть объём шара равен 18. Тогда объём описанного около него цилиндра:

V_цил = (3/2) · 18 = 27.

Ответ: 27.

Проверка через радиус: из V_шара = (4/3)·π·R³ = 18 следует π·R³ = 13,5. Тогда V_цил = 2·π·R³ = 2 · 13,5 = 27. Результат совпадает.

¶Обратная задача

Если известен объём цилиндра, объём вписанного шара находят умножением на 2/3:

V_шара = (2/3)·V_цил.

Например, при V_цил = 27 получаем V_шара = 18, что возвращает исходные данные. Это свойство удобно при решении задач, где объём цилиндра задан, а требуется найти объём шара.

¶Связь с другими телами

Аналогичные соотношения существуют и для других комбинаций тел вращения:

Для цилиндра и шара отношение 3:2 — одно из самых простых и часто используемых в школьных задачах. Оно непосредственно вытекает из того, что высота цилиндра вдвое больше радиуса, а площадь основания равна πR².

¶Историческая справка

Соотношение объёмов шара и описанного цилиндра установил древнегреческий математик Архимед (III век до н. э.). В трактате «О шаре и цилиндре» он доказал, что объём шара составляет две трети объёма описанного цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности такого цилиндра. По преданию, Архимед считал это открытие главным достижением своей жизни и завещал изобразить шар с цилиндром на своей гробнице. Результат был получен методом исчерпывания, предвосхитившим идеи интегрального исчисления.

¶Применение в задачах

Конфигурация «шар в цилиндре» встречается в нескольких типах заданий:

• нахождение объёма одного тела по объёму другого;
• вычисление площади поверхности описанного цилиндра;
• задачи на отношение площадей и объёмов;
• комбинированные задачи с конусом и шаром.

Типичная ошибка — попытка использовать радиус шара как высоту цилиндра. Высота равна именно диаметру, и пренебрежение этим приводит к занижению объёма вдвое.

¶Практическое значение

В инженерии и технике соотношение применяется при расчётах ёмкостей, резервуаров, подшипников и других деталей, где сфера помещается внутрь цилиндрического корпуса. Понимание связи размеров позволяет оценивать полезный объём и материалоёмкость конструкции. В архитектуре и дизайне пропорция 3:2 используется при создании куполов, колонн и декоративных элементов.

¶Ключевые выводы

• Радиус шара равен радиусу цилиндра, высота цилиндра равна диаметру шара.
• Объём описанного цилиндра в 1,5 раза больше объёма шара.
• При объёме шара 18 объём цилиндра равен 27.
• Соотношение не зависит от конкретных размеров тел.

Источники: учебники геометрии для средней школы; трактат Архимеда «О шаре и цилиндре»; справочники по элементарной математике.