Символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля — это набор чисел (коэффициентов), которые описывают связность в римановой геометрии и математическом аппарате общей теории относительности. Они служат для определения ковариантной производной — обобщения понятия производной на искривлённые пространства, позволяющего сравнивать векторы в разных точках многообразия. Символы Кристоффеля не являются тензорами, но их комбинации, такие как тензор кривизны Римана, образуют тензоры.

Определение

Символы Кристоффеля обозначаются как \(\Gamma^{k}_{ij}\) (или \(\Gamma^{k}_{ij}\)) и определяются через метрический тензор \(g_{ij}\) и его частные производные. В координатном базисе они вычисляются по формуле:

\[ \Gamma^{k}_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^{j}} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^{l}} \right) \]

Здесь \(g^{kl}\) — компоненты обратного метрического тензора, \(x^{i}\) — координаты точки многообразия, а суммирование по повторяющимся индексам (правило Эйнштейна) подразумевается. В трёхмерном евклидовом пространстве в декартовых координатах все символы Кристоффеля равны нулю, так как метрика постоянна. В криволинейных координатах (например, сферических) они отличны от нуля, компенсируя изменение базисных векторов.

История

Символы были введены немецким математиком Эльвином Бруно Кристоффелем в 1869 году в работе «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второго порядка» (нем. Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades). Кристоффель изучал инварианты квадратичных форм при заменах координат, что привело его к понятию ковариантного дифференцирования. Позднее, в начале XX века, эти символы стали ключевым инструментом в общей теории относительности Альберта Эйнштейна, где они описывают гравитационное поле через искривление пространства-времени.

Свойства

Симметричность

В римановой геометрии с метрикой, не имеющей кручения (связность Леви-Чивиты), символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам:

\[ \Gamma^{k}_{ij} = \Gamma^{k}_{ji} \]

Это свойство следует из симметричности метрического тензора и отсутствия кручения. В общем случае связности с кручением (например, в геометрии Вейля) симметрия может нарушаться.

Нетензорность

Символы Кристоффеля не являются тензорами, то есть при замене координат они преобразуются не по тензорному закону, а по более сложному правилу, включающему вторые производные от старых координат по новым. Это означает, что в одной системе координат символы могут быть нулевыми, а в другой — ненулевыми, даже если пространство плоское. Например, в евклидовом пространстве в декартовых координатах все \(\Gamma^{k}_{ij} = 0\), а в полярных координатах — нет.

Связь с ковариантной производной

Ковариантная производная вектора \(V^{i}\) определяется как:

\[ \nabla_{j} V^{i} = \frac{\partial V^{i}}{\partial x^{j}} + \Gamma^{i}_{jk} V^{k} \]

Для ковектора (1-формы) \(V_{i}\):

\[ \nabla_{j} V_{i} = \frac{\partial V_{i}}{\partial x^{j}} - \Gamma^{k}_{ij} V_{k} \]

Таким образом, символы Кристоффеля компенсируют изменение базиса при движении по многообразию.

Классификация

По типу связности

• Символы Кристоффеля первого рода — обозначаются как \([ij, k]\) или \(\Gamma_{k,ij}\) и определяются без использования обратного метрического тензора:

\[ [ij, k] = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}} \right) \]

• Символы Кристоффеля второго рода — это обычные \(\Gamma^{k}_{ij}\), получаемые поднятием индекса с помощью \(g^{kl}\):

\[ \Gamma^{k}_{ij} = g^{kl} [ij, l] \]

По размерности

В \(n\)-мерном многообразии количество независимых символов Кристоффеля равно \(\frac{n^2(n+1)}{2}\) (с учётом симметрии по нижним индексам). Например:

• В двумерном пространстве — 6 символов.
• В трёхмерном — 18.
• В четырёхмерном пространстве-времени (общая теория относительности) — 40.

Применение

Общая теория относительности

В общей теории относительности символы Кристоффеля используются для записи уравнений геодезических — траекторий свободно движущихся частиц в искривлённом пространстве-времени. Уравнение геодезической имеет вид:

\[ \frac{d^2 x^{k}}{d \tau^2} + \Gamma^{k}_{ij} \frac{d x^{i}}{d \tau} \frac{d x^{j}}{d \tau} = 0 \]

где \(\tau\) — собственное время. Через символы Кристоффеля выражается также тензор кривизны Римана, который описывает гравитационное поле:

\[ R^{i}_{jkl} = \frac{\partial \Gamma^{i}_{jl}}{\partial x^{k}} - \frac{\partial \Gamma^{i}_{jk}}{\partial x^{l}} + \Gamma^{i}_{mk} \Gamma^{m}_{jl} - \Gamma^{i}_{ml} \Gamma^{m}_{jk} \]

Дифференциальная геометрия

В математике символы Кристоффеля применяются для изучения кривизны многообразий, параллельного переноса векторов и ковариантного дифференцирования. Они являются основой для построения связности Леви-Чивиты — единственной метрической связности без кручения.

Вычислительная физика

В численных методах, таких как моделирование гравитационных волн или космологических процессов, символы Кристоффеля вычисляются для заданной метрики (например, метрики Шварцшильда или Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера). Это позволяет решать уравнения Эйнштейна и траектории частиц.

Примеры

Евклидово пространство в сферических координатах

В трёхмерном евклидовом пространстве со сферическими координатами \((r, \theta, \phi)\) метрика имеет вид: \[ ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \]

Ненулевые символы Кристоффеля второго рода:

• \(\Gamma^{r}_{\theta\theta} = -r\)
• \(\Gamma^{r}_{\phi\phi} = -r \sin^2 \theta\)
• \(\Gamma^{\theta}_{r\theta} = \Gamma^{\theta}_{\theta r} = \frac{1}{r}\)
• \(\Gamma^{\theta}_{\phi\phi} = -\sin \theta \cos \theta\)
• \(\Gamma^{\phi}_{r\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi r} = \frac{1}{r}\)
• \(\Gamma^{\phi}_{\theta\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi\theta} = \cot \theta\)

Метрика Шварцшильда

В общей теории относительности для внешнего решения Шварцшильда (сферически симметричное невращающееся тело) метрика в координатах \((t, r, \theta, \phi)\): \[ ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \]

Некоторые ненулевые символы Кристоффеля (в единицах \(c=1\)):

• \(\Gamma^{r}_{tt} = \frac{GM}{r^2} \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)\)
• \(\Gamma^{t}_{rt} = \Gamma^{t}_{tr} = \frac{GM}{r^2} \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1}\)
• \(\Gamma^{r}_{rr} = -\frac{GM}{r^2} \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1}\)

Интересные факты

• Символы Кристоффеля не являются тензорами, но их разность в двух разных связностях (например, при сравнении связности Леви-Чивиты и связности с кручением) образует тензор — тензор кручения.
• В плоском пространстве-времени в декартовых координатах все символы Кристоффеля равны нулю, что соответствует отсутствию гравитации. Введение гравитации эквивалентно переходу к криволинейным координатам или искривлённому многообразию.
• В квантовой теории поля символы Кристоффеля используются при квантовании гравитации, например, в формализме ковариантного квантования.

Источники

• Кристоффель, Э. Б. (1869). «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades». Journal für die reine und angewandte Mathematik.
• Мизнер, Ч., Торн, К., Уилер, Дж. (1977). Гравитация. Том 1. М.: Мир.
• Дубровин, Б. А., Новиков, С. П., Фоменко, А. Т. (1986). Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. (1988). Теория поля. М.: Наука.