Связность Леви-Чивиты

Связность Леви-Чивиты — это естественная аффинная связность на римановом многообразии (или, в более общем смысле, на псевдоримановом многообразии), которая является единственной метрической связностью без кручения. Она играет фундаментальную роль в дифференциальной геометрии и общей теории относительности, позволяя дифференцировать векторные поля, сохраняя при этом метрическую структуру многообразия и не внося дополнительного кручения.

Определение

Пусть \((M, g)\) — риманово многообразие, где \(M\) — гладкое многообразие, а \(g\) — риманова метрика (положительно определённая симметричная билинейная форма на касательном расслоении). Связность Леви-Чивиты (также известная как риманова связность или связность Кристоффеля) — это единственная аффинная связность \(\nabla\) на \(M\), удовлетворяющая двум условиям:

1. Метричность: \(\nabla g = 0\), то есть ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Это означает, что параллельный перенос сохраняет скалярное произведение между векторами.
2. Отсутствие кручения: \(\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y]\) для любых векторных полей \(X, Y\), где \([X, Y]\) — скобка Ли. Это условие эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по нижним индексам.

Существование и единственность такой связности были доказаны Туллио Леви-Чивитой в 1917 году, хотя её символы были введены ранее Эльвином Бруно Кристоффелем в 1869 году.

История

Идея параллельного переноса векторов на поверхности возникла в работах Карла Фридриха Гаусса и Бернхарда Римана. В 1869 году Эльвин Бруно Кристоффель ввёл трёхиндексные символы (ныне называемые символами Кристоффеля) для описания ковариантного дифференцирования в римановой геометрии. Однако строгое определение связности как дифференциально-геометрической структуры было дано лишь в начале XX века.

В 1917 году итальянский математик Туллио Леви-Чивита (1873–1941) в своей работе «Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura riemanniana» (Понятие параллелизма в произвольном многообразии и вытекающая из него геометрическая спецификация римановой кривизны) впервые сформулировал концепцию параллельного переноса вектора вдоль кривой на римановом многообразии. Он показал, что существует единственная связность, сохраняющая метрику и не имеющая кручения. Это обобщение идей Гаусса о параллельном переносе на поверхности на произвольные римановы многообразия.

Позднее, в 1920-х годах, Эли Картан развил теорию связностей, введя общее понятие аффинной связности и выделив кручение как отдельную характеристику. Связность Леви-Чивиты стала частным случаем (с нулевым кручением) в его общей теории.

Символы Кристоффеля

В локальных координатах \((x^1, \dots, x^n)\) связность Леви-Чивиты задаётся символами Кристоффеля второго рода \(\Gamma^k_{ij}\), которые вычисляются по формуле:

\[ \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l} \right) \]

где \(g_{ij}\) — компоненты метрического тензора, а \(g^{kl}\) — компоненты обратного метрического тензора (матрица, обратная \((g_{ij})\)). По определению, символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам: \(\Gamma^k_{ij} = \Gamma^k_{ji}\), что является прямым следствием отсутствия кручения.

Пример: евклидово пространство

В евклидовом пространстве \(\mathbb{R}^n\) со стандартной метрикой \(g_{ij} = \delta_{ij}\) (декартовы координаты) все символы Кристоффеля равны нулю. Однако в криволинейных координатах (например, в полярных или сферических) они становятся ненулевыми и описывают эффекты центробежного ускорения и кориолисовой силы при параллельном переносе.

Свойства

Единственность

Теорема Леви-Чивиты утверждает, что на любом римановом (или псевдоримановом) многообразии существует ровно одна аффинная связность, удовлетворяющая условиям метричности и отсутствия кручения. Доказательство основано на явной формуле для символов Кристоффеля, которая однозначно определяется метрикой.

Метричность

Условие \(\nabla g = 0\) означает, что для любых векторных полей \(X, Y, Z\) выполняется:

\[ X(g(Y, Z)) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z) \]

Это свойство гарантирует, что длины векторов и углы между ними сохраняются при параллельном переносе вдоль любой кривой.

Отсутствие кручения

Тензор кручения \(T(X, Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X, Y]\) для связности Леви-Чивиты тождественно равен нулю. Это условие обеспечивает симметричность вторых ковариантных производных для гладких функций (теорема Шварца для ковариантных производных).

Тензор кривизны Римана

Связность Леви-Чивиты порождает тензор кривизны Римана \(R(X, Y)Z\), который определяется как:

\[ R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z \]

В локальных координатах его компоненты \(R^i_{jkl}\) выражаются через символы Кристоффеля и их производные. Тензор кривизны является центральным объектом римановой геометрии; его обнуление во всех точках характеризует локально евклидовы многообразия (плоские пространства).

Применение

Общая теория относительности

В общей теории относительности Альберта Эйнштейна (1915) пространство-время моделируется как четырёхмерное псевдориманово многообразие с метрикой лоренцевой сигнатуры \((+,-,-,-)\) или \((-,+,+,+)\). Связность Леви-Чивиты используется для описания движения пробных частиц по геодезическим, которые являются экстремалями функционала длины (или собственного времени). Уравнения Эйнштейна связывают тензор кривизны Римана (полученный из связности) с распределением материи и энергии.

Дифференциальная геометрия

Связность Леви-Чивиты служит основой для определения:

• Геодезических — кривых, ускорение которых (в смысле ковариантной производной) равно нулю.
• Параллельного переноса — изоморфизма касательных пространств вдоль кривой.
• Тензора Риччи и скалярной кривизны — свёрток тензора Римана, используемых в геометрическом анализе.
• Теоремы Гаусса — Бонне и её обобщений, связывающих топологию многообразия с интегралом кривизны.

Математическая физика

В калибровочных теориях и теории струн связность Леви-Чивиты обобщается на расслоения со структурной группой, однако её риманов вариант остаётся базовым для описания гравитации.

Обобщения

Псевдориманова связность

Для псевдориманова многообразия (например, пространства Минковского или пространства-времени ОТО) определение связности Леви-Чивиты остаётся тем же, но метрика не является положительно определённой. Формула для символов Кристоффеля и все основные свойства сохраняются.

Связность с кручением

В некоторых физических теориях (например, в теории Эйнштейна — Картана — Кибала) рассматриваются связности с ненулевым кручением. В этом случае связность Леви-Чивиты является частным случаем более общей метрической связности.

Комплексная риманова геометрия

На кэлеровых многообразиях связность Леви-Чивиты совпадает с канонической связностью Черна, что делает её особенно удобной для изучения комплексных многообразий.

Интересные факты

• Связность Леви-Чивиты является единственным решением вариационной задачи: она минимизирует функционал, связанный с энергией параллельного переноса.
• В двумерном случае символы Кристоффеля могут быть выражены через первую фундаментальную форму поверхности.
• Название «связность» (connection) было введено Картаном, который обобщил идею Леви-Чивиты на произвольные расслоения.
• В квантовой гравитации и некоммутативной геометрии рассматриваются обобщения связности Леви-Чивиты на некоммутативные пространства.

Источники

• Леви-Чивита, Т. «Понятие параллелизма в произвольном многообразии и вытекающее из него геометрическое определение римановой кривизны» (1917).
• Кристоффель, Э. Б. «О преобразовании однородных дифференциальных форм второго порядка» (1869).
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия: методы и приложения» — М.: Наука, 1986.
• Постников М. М. «Риманова геометрия» — М.: Факториал, 1998.
• Миснер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация» — М.: Мир, 1977 (том 1, глава 10).