Символы Кристоффеля — Леви-Чивиты

Символы Кристоффеля — Леви-Чивиты (также известные как символы Кристоффеля, коэффициенты связности) — это набор чисел, которые определяют ковариантную производную в римановой геометрии и, в более общем смысле, в дифференциальной геометрии многообразий с аффинной связностью. Они описывают, как изменяются компоненты векторного поля при параллельном переносе вдоль кривой на многообразии, и являются ключевым инструментом для вычисления геодезических, кривизны и тензора Римана. Символы Кристоффеля не являются тензорами, но их комбинации, такие как тензор кривизны, являются тензорами.

Определение и обозначения

Символы Кристоффеля обозначаются как \(\Gamma_{ij}^k\) и вводятся для локальной системы координат \(x^i\) на многообразии. В случае риманова многообразия с метрическим тензором \(g_{ij}\) они однозначно определяются из условия метрической связности (связности Леви-Чивиты), которая является симметричной и согласованной с метрикой. Формула для вычисления символов через метрику имеет вид:

\[ \Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l} \right), \]

где \(g^{kl}\) — компоненты обратного метрического тензора, а \(\partial\) обозначает частную производную по координатам. Верхний индекс \(k\) указывает на компоненту ковариантной производной, а нижние индексы \(i, j\) — на направления дифференцирования.

Симметрия

В римановой геометрии символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам: \(\Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k\). Это свойство вытекает из симметричности метрического тензора и отсутствия кручения в связности Леви-Чивиты. В общем случае аффинной связности с кручением симметрия может нарушаться, и тогда вводится тензор кручения.

История

Символы были введены немецким математиком Эльвином Бруно Кристоффелем в 1869 году в работе «О преобразовании квадратичных дифференциальных форм» (нем. Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades). Кристоффель изучал, как преобразуются коэффициенты дифференциальных форм при замене координат, и вывел правила, которые позже стали называться символами Кристоффеля. Позднее, в начале XX века, итальянский математик Туллио Леви-Чивита развил эти идеи в контексте параллельного переноса и римановой геометрии, что привело к современной формулировке связности, названной его именем.

Свойства и преобразования

Нетензорность

Символы Кристоффеля не являются тензорами, то есть при замене координат они преобразуются не по линейному закону, а с дополнительным членом, содержащим вторые производные от координат. Это свойство отражает их зависимость от выбора системы координат. Например, в плоском пространстве (евклидовом или псевдоевклидовом) в декартовых координатах все символы равны нулю, но в криволинейных координатах (например, полярных) они отличны от нуля.

Связь с ковариантной производной

Ковариантная производная векторного поля \(V^i\) определяется как:

\[ \nabla_j V^i = \frac{\partial V^i}{\partial x^j} + \Gamma_{jk}^i V^k. \]

Аналогично для ковектора (1-формы) \(W_i\):

\[ \nabla_j W_i = \frac{\partial W_i}{\partial x^j} - \Gamma_{ij}^k W_k. \]

Эти выражения обеспечивают, что производная тензора является тензором.

Параллельный перенос и геодезические

Уравнение параллельного переноса вектора \(V^i\) вдоль кривой с параметром \(t\) имеет вид:

\[ \frac{d V^i}{dt} + \Gamma_{jk}^i V^j \frac{dx^k}{dt} = 0. \]

Геодезические — это кривые, касательный вектор которых переносится параллельно вдоль самой кривой. Уравнение геодезической в координатах:

\[ \frac{d^2 x^i}{dt^2} + \Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0. \]

Примеры

Евклидово пространство в декартовых координатах

В трёхмерном евклидовом пространстве с метрикой \(g_{ij} = \delta_{ij}\) (единичная матрица) все символы Кристоффеля равны нулю, так как частные производные метрики равны нулю.

Полярные координаты на плоскости

Рассмотрим двумерную плоскость с полярными координатами \((r, \theta)\). Метрика имеет вид \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\), то есть \(g_{rr}=1\), \(g_{\theta\theta}=r^2\), \(g_{r\theta}=g_{\theta r}=0\). Обратная метрика: \(g^{rr}=1\), \(g^{\theta\theta}=1/r^2\). Вычислим ненулевые символы:

• \(\Gamma_{\theta\theta}^r = -r\) (из производной \(g_{\theta\theta}\) по \(r\)),
• \(\Gamma_{r\theta}^\theta = \Gamma_{\theta r}^\theta = 1/r\) (из производной \(g_{\theta\theta}\) по \(r\)).

Остальные символы равны нулю.

Сфера в сферических координатах

Для двумерной сферы радиуса \(R\) с координатами \((\theta, \phi)\) (где \(\theta\) — полярный угол, \(\phi\) — азимутальный) метрика: \(ds^2 = R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)\). Ненулевые символы:

• \(\Gamma_{\phi\phi}^\theta = -\sin\theta \cos\theta\),
• \(\Gamma_{\theta\phi}^\phi = \Gamma_{\phi\theta}^\phi = \cot\theta\).

Применение

Общая теория относительности

В общей теории относительности (ОТО) символы Кристоффеля играют центральную роль. Они используются для записи уравнений Эйнштейна, которые связывают кривизну пространства-времени с распределением материи и энергии. Ковариантная производная, определённая через символы, позволяет формулировать законы физики в искривлённом пространстве-времени, например, уравнение движения пробной частицы (геодезическая линия) или закон сохранения энергии-импульса.

Компьютерное моделирование

В численных методах, таких как симуляции гравитационных волн или расчёты в общей теории относительности, символы Кристоффеля вычисляются численно для заданной метрики. Они используются в алгоритмах интегрирования геодезических и решения уравнений поля.

Дифференциальная геометрия

В математике символы Кристоффеля являются основой для вычисления тензора кривизны Римана, тензора Риччи и скалярной кривизны. Эти величины, в свою очередь, используются для классификации многообразий и изучения их топологии.

Критика и ограничения

Основное ограничение символов Кристоффеля — их нетензорный характер, что усложняет их использование в глобальных задачах, где требуется инвариантность относительно замен координат. Однако это компенсируется тем, что они локально определены и позволяют строить тензорные объекты, такие как кривизна. В некоторых альтернативных подходах, например, в теории связностей с кручением, символы могут быть несимметричными, что требует дополнительных вычислений.

Интересные факты

• Символы Кристоффеля иногда называют «символами трёх индексов» из-за их структуры.
• В плоском пространстве в декартовых координатах все символы равны нулю, что делает их удобным инструментом для проверки, является ли пространство локально евклидовым.
• В квантовой гравитации и теориях с высшими измерениями символы Кристоффеля обобщаются на более сложные связности.

Источники

• Кристоффель Э. Б. «О преобразовании квадратичных дифференциальных форм» (1869).
• Леви-Чивита Т. «Абсолютное дифференциальное исчисление» (1925).
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация» (1973).
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия: методы и приложения» (1986).
• Учебники по дифференциальной геометрии и общей теории относительности (например, Кэрролл Ш. «Пространство-время и геометрия», 2004).