Синтез электрических цепей¶

Синтез электрических цепей — это раздел теоретической электротехники, посвящённый разработке (построению) электрической цепи с заданными характеристиками, параметрами или функциональным поведением. В отличие от анализа цепей, где по известной схеме определяются токи и напряжения, синтез решает обратную задачу: по требуемой передаточной функции, частотной характеристике, импульсной реакции или другому критерию находится структура и номиналы элементов цепи (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, операционных усилителей и т.д.). Синтез является ключевым этапом проектирования фильтров, корректирующих устройств, усилителей, генераторов и систем автоматического регулирования.

¶История развития

Первые работы по синтезу электрических цепей относятся к началу XX века. В 1915 году немецкий инженер Карл Вильгельм Вагнер и американский изобретатель Джордж Эшли Кэмпбелл независимо друг от друга разработали теорию электрических фильтров, заложив основы синтеза реактивных цепей. В 1920-х годах Отто Бруне и Рихард Фостер предложили методы синтеза двухполюсников (реализация заданных входных сопротивлений). В 1930-е годы Вильгельм Кауэр создал теорию синтеза четырёхполюсников, введя понятие лестничных цепей и методов их реализации.

В СССР значительный вклад в развитие синтеза внесли учёные: А. А. Харкевич (теория преобразователей), В. П. Сигорский (методы синтеза активных цепей), Е. В. Зелях (синтез цепей с распределёнными параметрами). С середины XX века, с появлением операционных усилителей и интегральных схем, синтез активных RC-цепей (без катушек индуктивности) стал доминирующим направлением, так как катушки трудно реализуемы в микроэлектронике.

¶Классификация задач синтеза

Задачи синтеза электрических цепей классифицируют по нескольким признакам.

¶По типу реализуемой функции

Синтез двухполюсников — построение цепи, имеющей заданное входное сопротивление (или проводимость) как функцию частоты. Используется для согласования импедансов, в качестве нагрузок и резонаторов.
Синтез четырёхполюсников — построение цепи с заданной передаточной функцией (по напряжению, току, мощности). Основная задача при проектировании фильтров, усилителей, корректирующих звеньев.
Синтез многополюсников — более общая задача, включающая цепи с числом внешних выводов более четырёх.

¶По элементной базе

Синтез пассивных цепей — цепи, состоящие только из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепи). Характеризуются отсутствием источников энергии, реализуют только устойчивые пассивные функции.
Синтез активных цепей — цепи, содержащие активные элементы (операционные усилители, транзисторы, источники тока). Позволяют реализовать более сложные передаточные функции, в том числе с комплексными полюсами, и обойтись без катушек индуктивности.
Синтез цепей с распределёнными параметрами — для сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона, где длина волны соизмерима с размерами цепи. Используются отрезки линий передачи, микрополоски, волноводы.

¶По методу реализации

Канонический синтез — построение цепи по строгим математическим алгоритмам, гарантирующим реализацию заданной функции с минимальным числом элементов (например, метод Фостера или Кауэра).
Аппроксимационный синтез — сначала заданная характеристика (например, амплитудно-частотная) аппроксимируется рациональной функцией (фильтры Баттерворта, Чебышёва, Кауэра), а затем эта функция реализуется цепью.
Оптимизационный синтез — с использованием численных методов (например, градиентного спуска, генетических алгоритмов) подбираются параметры цепи, минимизирующие отклонение от требуемой характеристики.

¶Основные этапы синтеза

Процесс синтеза электрической цепи обычно включает следующие шаги:

Формулирование требований — задание желаемой передаточной функции, частотной характеристики, импульсной реакции, допустимых отклонений, диапазона частот, условий устойчивости.
Аппроксимация — подбор математической функции (рациональной, дробно-рациональной), которая с заданной точностью описывает требуемую характеристику и удовлетворяет условиям физической реализуемости (например, для пассивных цепей — положительная вещественная функция).
Реализация — построение электрической схемы, реализующей выбранную функцию. Для пассивных цепей используются методы Фостера (разложение на простые дроби) и Кауэра (разложение в цепную дробь). Для активных цепей — методы на основе операционных усилителей (например, структуры Саллена-Ки, биквадратные звенья).
Проверка и коррекция — анализ полученной схемы (например, в симуляторе SPICE), сравнение с заданными требованиями, при необходимости — корректировка номиналов или структуры.

¶Методы синтеза пассивных цепей

¶Метод Фостера

Метод Фостера основан на разложении входной функции сопротивления (или проводимости) двухполюсника на сумму простых дробей. Каждой дроби соответствует параллельный или последовательный LC-контур. Реализация может быть первой (последовательное соединение параллельных контуров) или второй (параллельное соединение последовательных контуров) формы Фостера. Метод удобен для синтеза резонансных цепей.

¶Метод Кауэра

Метод Кауэра использует разложение функции в цепную дробь. В результате получается лестничная структура (чередование продольных и поперечных элементов), что удобно для реализации фильтров. Различают первую и вторую формы Кауэра, в зависимости от того, с какого элемента начинается разложение (с индуктивности или ёмкости). Метод Кауэра даёт схемы с меньшим разбросом номиналов, чем метод Фостера.

¶Методы синтеза активных цепей

Синтез активных цепей позволяет реализовать передаточные функции с комплексными полюсами без использования катушек индуктивности, что важно для интегральной технологии. Основные подходы:

Каскадный синтез — передаточная функция разбивается на произведение звеньев первого и второго порядка (биквадратных звеньев). Каждое звено реализуется на операционном усилителе (например, по схеме Саллена-Ки, многопетлевой обратной связи). Затем звенья соединяются каскадно.
Синтез на основе имитации индуктивности — с помощью активных элементов (гираторов, конверторов отрицательного сопротивления) имитируется поведение катушки индуктивности, что позволяет использовать методы пассивного синтеза.
Синтез с использованием операционных усилителей с конечным усилением — для реализации фильтров с высоким порядком используются структуры на основе интеграторов (например, биквадратные фильтры на двух интеграторах).

¶Применение

Синтез электрических цепей широко применяется в следующих областях:

Радиотехника и связь — проектирование частотных фильтров (низкочастотных, высокочастотных, полосовых, режекторных) для приёмников, передатчиков, систем обработки сигналов.
Автоматика и управление — синтез корректирующих звеньев (ПИД-регуляторов, фазовых корректоров) для систем автоматического регулирования.
Аудиотехника — разработка кроссоверов для акустических систем, эквалайзеров, предусилителей.
Микроэлектроника — проектирование активных фильтров в интегральном исполнении (например, в аналоговых интерфейсах датчиков, кодеков).
Энергетика — синтез цепей для компенсации реактивной мощности, фильтрации гармоник в сетях электропитания.

¶Интересные факты

Понятие «положительная вещественная функция», введённое Отто Бруне в 1931 году, является фундаментальным условием реализуемости пассивной цепи. Оно связывает теорию цепей с теорией функций комплексного переменного.
Метод Кауэра до сих пор используется в некоторых программах автоматизированного проектирования (например, в пакете Filter Solutions) для синтеза фильтров с минимальным числом элементов.
В 1960-е годы в СССР была разработана теория синтеза цепей с переменными параметрами (параметрических цепей), которая нашла применение в параметрических усилителях и преобразователях частоты.

¶Источники

Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. — М.: Радио и связь, 1986.
Сигорский В. П. Математический аппарат инженера. — Киев: Техніка, 1975.
Кауэр В. Синтез линейных цепей. — М.: Советское радио, 1958.
Харкевич А. А. Основы радиотехники. — М.: Связьиздат, 1963.
Temes G. C., LaPatra J. W. Introduction to Circuit Synthesis and Design. — McGraw-Hill, 1977.