Скейлинговая теория локализации

Скейлинговая теория локализации (от англ. scaling theory of localization) — это теоретическая концепция в физике конденсированного состояния, описывающая переход металл—диэлектрик (переход Андерсона) в неупорядоченных системах с помощью методов ренормализационной группы и скейлинговых гипотез. Теория была развита в конце 1970-х годов, в первую очередь в работах Э. Абрахамса, П. Андерсона, Д. Лика, Т. Рамакришнана и других, и стала ключевым инструментом для понимания поведения электронов в неупорядоченных средах, таких как легированные полупроводники, аморфные металлы и двумерные электронные газы.

История

Предпосылки и открытие перехода Андерсона

В 1958 году американский физик Филип Уоррен Андерсон впервые показал, что при достаточно сильном беспорядке в кристаллической решётке электронные волновые функции могут становиться локализованными, то есть не распространяться на макроскопические расстояния. Это явление получило название локализации Андерсона. В 1960-е годы были предприняты попытки описать переход от металлического (делокализованного) состояния к диэлектрическому (локализованному) в рамках теории протекания и одноэлектронных моделей, однако полная картина оставалась неясной.

Разработка скейлинговой гипотезы

В 1979 году группа учёных (Абрахамс, Андерсон, Лик и Рамакришнан) опубликовала статью, в которой предложила скейлинговую теорию локализации. Основная идея заключалась в том, что поведение проводимости вблизи перехода металл—диэлектрик можно описать с помощью единственного безразмерного параметра — безразмерной проводимости \( g(L) \), зависящей от размера системы \( L \). Было постулировано, что изменение этого параметра при изменении масштаба подчиняется универсальному дифференциальному уравнению (скейлинговой функции), которое не зависит от микроскопических деталей системы.

Основные положения

Безразмерная проводимость и скейлинг

Ключевой величиной в теории является безразмерная проводимость \( g(L) = \frac{2\pi\hbar}{e^2} \sigma(L) L^{d-2} \), где \( \sigma(L) \) — проводимость образца размера \( L \), \( d \) — размерность пространства, \( \hbar \) — приведённая постоянная Планка, \( e \) — заряд электрона. Скейлинговая гипотеза утверждает, что существует универсальная функция \( \beta(g) = \frac{d \ln g}{d \ln L} \), которая описывает, как меняется \( g \) при увеличении размера системы. Вид этой функции определяет, будет ли система в термодинамическом пределе (\( L \to \infty \)) металлической (\( g \to \infty \)) или диэлектрической (\( g \to 0 \)).

Критическое поведение

Вблизи перехода металл—диэлектрик проводимость в трёхмерном случае (\( d = 3 \)) подчиняется степенному закону: \[ \sigma = \sigma_0 \left( \frac{n - n_c}{n_c} \right)^\nu, \] где \( n \) — концентрация носителей, \( n_c \) — критическая концентрация, \( \nu \) — критический индекс длины локализации. Скейлинговая теория предсказывает, что \( \nu \approx 1 \) для трёхмерных систем, что было подтверждено экспериментами на легированных полупроводниках, таких как фосфор-легированный кремний (Si:P).

Размерность системы

Одним из важнейших выводов теории стало различие поведения систем разной размерности:

• Одномерные системы (\( d = 1 \)): все состояния локализованы при любом сколь угодно малом беспорядке. Переход металл—диэлектрик отсутствует.
• Двумерные системы (\( d = 2 \)): в отсутствие спин-орбитального взаимодействия все состояния локализованы, но переход может наблюдаться при учёте взаимодействия или в присутствии сильного магнитного поля (квантовый эффект Холла).
• Трёхмерные системы (\( d = 3 \)): существует чёткий переход металл—диэлектрик при определённой степени беспорядка.

Математический аппарат

Скейлинговая функция \( \beta(g) \)

Функция \( \beta(g) \) строится на основе анализа асимптотик:

• В металлической фазе (\( g \gg 1 \)): \( \beta(g) = d - 2 - \frac{a}{g} + \dots \), где \( a \) — константа.
• В диэлектрической фазе (\( g \ll 1 \)): \( \beta(g) = \ln(g/g_c) \), где \( g_c \) — критическая проводимость.
• В точке перехода (\( g = g_c \)): \( \beta(g_c) = 0 \).

Ренормализационная группа

Скейлинговая теория локализации является применением идей ренормализационной группы к задаче о неупорядоченных системах. Процедура состоит в последовательном укрупнении масштаба (блокировании) и переопределении параметров, что позволяет вычислить критические индексы и фазовую диаграмму.

Экспериментальные подтверждения

Легированные полупроводники

Наиболее известные эксперименты по проверке скейлинговой теории проводились на образцах Si:P, где при изменении концентрации фосфора наблюдался переход металл—диэлектрик. Измерения проводимости при низких температурах показали степенную зависимость с критическим индексом \( \nu \approx 1.0 \pm 0.1 \), что согласуется с предсказаниями теории.

Двумерные системы

В двумерных электронных газах, созданных в гетероструктурах GaAs/AlGaAs, была обнаружена локализация всех состояний при нулевом магнитном поле, что подтверждает предсказание теории для \( d = 2 \). Однако при сильных магнитных полях наблюдается квантовый эффект Холла, который требует отдельного рассмотрения.

Критика и ограничения

Учёт взаимодействия электронов

Скейлинговая теория локализации в её первоначальной формулировке является одноэлектронной и не учитывает кулоновское взаимодействие между электронами. В реальных системах, особенно при низких концентрациях носителей, взаимодействие может существенно влиять на поведение, приводя к так называемому переходу Андерсона—Мотта. В 1980-е годы были разработаны обобщения теории, включающие взаимодействие (скейлинговая теория с взаимодействием), но полная картина остаётся предметом исследований.

Спин-орбитальное взаимодействие

В материалах с сильным спин-орбитальным взаимодействием (например, в тяжёлых элементах) скейлинговая функция может изменяться, что приводит к возможности металлического состояния в двумерных системах (так называемый антилокализационный эффект). Это явление было предсказано и экспериментально обнаружено в 1990-е годы.

Применение

Понимание свойств неупорядоченных материалов

Скейлинговая теория локализации используется для объяснения электрических свойств аморфных металлов, легированных полупроводников, а также графена и других двумерных материалов. Она помогает предсказывать, при каких условиях материал будет проявлять металлическую проводимость, а при каких — диэлектрическую.

Квантовые вычисления

В контексте квантовых вычислений локализация Андерсона рассматривается как один из механизмов, препятствующих декогеренции квантовых состояний. Скейлинговая теория позволяет оценить, как беспорядок в квантовых точках или сверхпроводящих кубитах влияет на время когерентности.

Интересные факты

• В 1977 году Филип Андерсон получил Нобелевскую премию по физике за теоретические исследования локализации, хотя скейлинговая теория была разработана двумя годами позже.
• Скейлинговая теория локализации является одним из немногих примеров точного применения ренормализационной группы к задачам, не имеющим малого параметра.
• В 2010-е годы в экспериментах на ультрахолодных атомах в оптических решётках была впервые непосредственно визуализирована локализация Андерсона, что подтвердило предсказания теории.

Источники

• Abrahams E., Anderson P. W., Licciardello D. C., Ramakrishnan T. V. Scaling Theory of Localization: Absence of Quantum Diffusion in Two Dimensions // Physical Review Letters. — 1979. — Vol. 42, № 10. — P. 673–676.
• Anderson P. W. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices // Physical Review. — 1958. — Vol. 109, № 5. — P. 1492–1505.
• Lee P. A., Ramakrishnan T. V. Disordered electronic systems // Reviews of Modern Physics. — 1985. — Vol. 57, № 2. — P. 287–337.
• Mott N. F. Metal-Insulator Transitions. — 2nd ed. — Taylor & Francis, 1990. — 286 p.
• Efetov K. B. Supersymmetry in Disorder and Chaos. — Cambridge University Press, 1997. — 460 p.