Сложение — арифметическая операция¶

Сложение — одна из четырёх основных арифметических операций (наряду с вычитанием, умножением и делением), заключающаяся в объединении двух или более чисел в одно, называемое суммой. Сложение является наиболее элементарной из арифметических операций и обычно первой, которой обучают при изучении математики. Обозначается знаком плюс (+), например: 2 + 3 = 5.

¶Основные понятия

При сложении используются следующие термины:

• Слагаемые — числа, которые складываются.
• Сумма — результат сложения.
• Знак сложения — символ «+» (плюс).

Запись вида «а + b = с» читается как «а плюс b равно с». Сложение определено для натуральных чисел, целых чисел, рациональных, действительных и комплексных чисел, а также для векторов, матриц и других математических объектов.

¶Свойства сложения

Для чисел сложение обладает рядом важных свойств:

• Коммутативность: a + b = b + a. Порядок слагаемых не влияет на сумму.
• Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c). Результат не зависит от порядка выполнения операций, поэтому скобки при сложении нескольких чисел можно не расставлять.
• Наличие нуля: a + 0 = a. Число 0 называется нулём сложения.
• Наличие противоположного числа: a + (−a) = 0. Для каждого числа существует противоположное, сумма с которым равна нулю.

Эти свойства делают множество действительных чисел коммутативной абелевой группой по операции сложения.

¶Сложение натуральных чисел

Наиболее простой случай — сложение натуральных (положительных целых) чисел. Сложение натуральных чисел можно наглядно интерпретировать как объединение множеств: если в одном наборе a предметов, а в другом b, то вместе их a + b. Для двух однозначных чисел таблица сложения содержит 100 равенств (от 1+1=2 до 9+9=18) и является основой счётных навыков.

¶Сложение в столбик

При сложении многозначных чисел используется алгоритм сложения в столбик. Числа записываются друг под другом так, чтобы разряды совпадали, и складываются начиная с младшего разряда. Если сумма цифр в разряде превышает 9, десятки переносятся в следующий старший разряд — это называется дополнительным разрядом или переносом. Например, при сложении 457 + 368: 7+8=15 (пишем 5, переносим 1), 5+6+1=12 (пишем 2, переносим 1), 4+3+1=8; итог — 825.

¶Сложение целых чисел

При переходе к целым числам сложение расширяется с учётом отрицательных чисел. Правила сводятся к двум случаям:

• Сложение чисел одного знака: складываются модули, результату придаётся общий знак (например, (−5) + (−3) = −8).
• Сложение чисел разных знаков: из большего модуля вычитается меньший, результату придаётся знак числа с большим модулем (например, (−7) + 4 = −3).

¶Сложение дробей и рациональных чисел

Для сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями приводят к общему знаменателю, после чего складывают числители:

a/b + c/d = (ad + cb) / (bd)

Для смешанных чисел целые части складываются отдельно от дробных. Десятичные дроби складываются с выравниванием по запятой.

¶Сложение векторов и матриц

Сложение определено и для объектов, не являющихся числами. Два вектора одинаковой размерности складываются попарно по компонентам: (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂). Геометрически это соответствует правилу параллелограмма или правилу треугольника. Матрицы одинаковых размеров складываются поэлементно. Сложение векторов и матриц также коммутативно и ассоциативно.

¶Сложение комплексных чисел

Комплексные числа z₁ = a + bi и z₂ = c + di складываются по формуле z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i, то есть складываются действительные части и мнимые части по отдельности. Геометрически сложение комплексных чисел соответствует сложению векторов на комплексной плоскости.

¶Сложение в системах счисления

Алгоритм сложения в столбик работает в любой позиционной системе счисления, однако в основании n сумма цифр разряда может достигать 2(n−1), а перенос в старший разряд — до 2. В двоичной системе (основание 2) сложение подчиняется простым правилам: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (с переносом). Именно на свойствах двоичного сложения построена работа арифметико-логического устройства (АЛУ) современных процессоров.

¶Сложение в математическом анализе

Понятие сложения обобщается на бесконечные суммы — ряды. Если бесконечная последовательность слагаемых имеет конечную предельную сумму частичных сумм, ряд называется сходящимся. Сложение функций определяется поэлементно: (f + g)(x) = f(x) + g(x).

¶Обучение сложению

В начальной школе изучение сложения начинается с натуральных чисел, затем переходят к сложению в пределах 10, 20 и 100, после чего вводится сложение многозначных чисел в столбик и сложение с отрицательными числами. В России порядок и содержание обучения регламентируются федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования.

¶История

Операция сложения известна с древнейших времён и является, по-видимому, первой математической операцией, осознанной человеком. Уже в папирусах Древнего Египта (около 2000 года до н. э.) описаны приёмы сложения, включая удвоение. В Индии в I—IV веках н. э. появилась система записи чисел, предшественница современной индо-арабской системы, значительно упростившая сложение. Знак «+» впервые был использован в XIV веке, а его распространение связано с работами немецкого математика Иоганна Видмана (1489).

¶Источники

• Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988.
• Выгодский М. Я. Арифметика и основы анализа. — М.: Наука, 1981.
• Гуревич П. С. Задачи и упражнения по элементарной математике. — М.: Наука, 1971.
• ФГОС начального общего образования (утверждён приказом Министерства образования и науки РФ).