Состояние Белла

Состояние Белла — это одно из четырёх максимально запутанных квантовых состояний двух кубитов, образующих ортонормированный базис в гильбертовом пространстве размерности 4. Состояния Белла являются ключевым ресурсом для квантовой телепортации, сверхплотного кодирования и многих протоколов квантовой коммуникации. Они названы в честь физика Джона Стюарта Белла, который в 1964 году сформулировал теорему о неравенствах, демонстрирующую несовместимость квантовой механики с локальным реализмом.

Определение и математическая форма

Состояния Белла представляют собой суперпозиции базисных состояний двух кубитов (|0⟩ и |1⟩) с определёнными коэффициентами. В стандартной записи они обозначаются как |Φ⁺⟩, |Φ⁻⟩, |Ψ⁺⟩, |Ψ⁻⟩. Математически они записываются следующим образом:

• |Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩) / √2
• |Φ⁻⟩ = (|00⟩ — |11⟩) / √2
• |Ψ⁺⟩ = (|01⟩ + |10⟩) / √2
• |Ψ⁻⟩ = (|01⟩ — |10⟩) / √2

Здесь |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ — базисные состояния двух кубитов в вычислительном базисе. Коэффициент 1/√2 обеспечивает нормировку. Все четыре состояния ортогональны друг другу и образуют полный базис в пространстве двух кубитов.

Свойства

Максимальная запутанность

Состояния Белла являются максимально запутанными: измерение состояния одного кубита мгновенно определяет состояние второго. Например, в состоянии |Φ⁺⟩, если первый кубит измерен в состоянии |0⟩, то второй обязательно будет в |0⟩; если первый — в |1⟩, то второй — в |1⟩. Эта корреляция сохраняется независимо от расстояния между кубитами, что является проявлением квантовой нелокальности.

Несепарабельность

Ни одно из состояний Белла не может быть представлено в виде произведения состояний отдельных кубитов (|ψ⟩₁ ⊗ |φ⟩₂). Это свойство отличает запутанные состояния от сепарабельных, где корреляции можно объяснить классическими вероятностями.

Нарушение неравенств Белла

Состояния Белла нарушают неравенства Белла, что экспериментально подтверждает отсутствие локальных скрытых переменных в квантовой механике. Первые эксперименты по проверке неравенств Белла были проведены Аленом Аспе в 1982 году с использованием фотонов в состояниях Белла.

Получение состояний Белла

Квантовые схемы

Состояния Белла могут быть получены из начального состояния |00⟩ с помощью квантовой схемы, состоящей из двух операций:

1. Применение вентиля Адамара (H) к первому кубиту: |00⟩ → (|0⟩ + |1⟩) ⊗ |0⟩ / √2 = (|00⟩ + |10⟩) / √2
2. Применение вентиля CNOT (контролируемое НЕ) с первым кубитом в качестве управляющего и вторым — в качестве целевого: (|00⟩ + |10⟩) / √2 → (|00⟩ + |11⟩) / √2 = |Φ⁺⟩

Аналогично можно получить остальные состояния, изменяя начальное состояние или добавляя дополнительные вентили.

Физическая реализация

В экспериментальных установках состояния Белла создаются различными способами:

• Спонтанное параметрическое рассеяние в нелинейных кристаллах (для фотонов)
• Взаимодействие атомов в оптических ловушках или ионных ловушках
• Сверхпроводящие кубиты в квантовых процессорах

Применение

Квантовая телепортация

Состояния Белла являются основным ресурсом для квантовой телепортации — протокола, позволяющего передать неизвестное квантовое состояние между двумя удалёнными сторонами с использованием классической связи и общего запутанного состояния. Впервые этот протокол был предложен в 1993 году Чарльзом Беннеттом и соавторами.

Сверхплотное кодирование

Сверхплотное кодирование позволяет передать два классических бита информации, используя один кубит и общее запутанное состояние Белла. Протокол был предложен Беннеттом и Визнером в 1992 году. Отправитель, имея один из кубитов состояния Белла, может применить одно из четырёх локальных унитарных преобразований, переводя общее состояние в одно из четырёх состояний Белла, что кодирует два бита информации.

Квантовая криптография

Состояния Белла используются в протоколах квантового распределения ключей, таких как E91 (разработан Артуром Экертом в 1991 году). Этот протокол основан на проверке неравенств Белла для обнаружения подслушивания.

Квантовые вычисления

Состояния Белла применяются в квантовых алгоритмах, например, в алгоритме Дойча — Йожи, а также в квантовой коррекции ошибок и в топологических квантовых вычислениях.

Экспериментальная проверка

Первое экспериментальное наблюдение состояний Белла было выполнено в 1970-х годах. В 1982 году Ален Аспе провёл эксперименты с фотонами, которые подтвердили нарушение неравенств Белла и продемонстрировали нелокальность квантовой механики. В 2015 году были проведены «безлазейковые» тесты Белла, исключившие возможные локальные объяснения корреляций.

В 2022 году Нобелевская премия по физике была присуждена Алену Аспе, Джону Клаузеру и Антону Цайлингеру за эксперименты с запутанными фотонами, в том числе с состояниями Белла, и за установление основ квантовой информатики.

Связь с другими концепциями

Квантовая запутанность

Состояния Белла являются простейшим примером запутанных состояний для двух частиц. Они служат эталоном для сравнения с другими типами запутанности, такими как состояния GHZ (для трёх и более частиц) или состояния W.

Неравенства Белла

Состояния Белла позволяют достичь максимального нарушения неравенства Белла (значение 2√2 для неравенства CHSH). Это делает их оптимальными для демонстрации квантовой нелокальности.

Ограничения и критика

Хотя состояния Белла являются фундаментальным ресурсом для квантовых технологий, их практическое использование сталкивается с рядом трудностей:

• Декогеренция: взаимодействие с окружающей средой разрушает запутанность, что ограничивает время жизни состояний Белла.
• Сложность масштабирования: создание и поддержание состояний Белла для большого числа кубитов остаётся технической проблемой.
• Потери в каналах связи: при передаче фотонов через оптоволокно или открытое пространство часть запутанных пар теряется, что снижает эффективность протоколов.

Источники

• Nielsen M. A., Chuang I. L. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2010.
• Bell J. S. On the Einstein Podolsky Rosen paradox // Physics Physique Fizika. — 1964. — Vol. 1, No. 3. — P. 195–200.
• Aspect A., Grangier P., Roger G. Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell's Inequalities // Physical Review Letters. — 1982. — Vol. 49, No. 2. — P. 91–94.
• Bennett C. H., Brassard G., Crépeau C. et al. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels // Physical Review Letters. — 1993. — Vol. 70, No. 13. — P. 1895–1899.
• Bennett C. H., Wiesner S. J. Communication via one- and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states // Physical Review Letters. — 1992. — Vol. 69, No. 20. — P. 2881–2884.
• Ekert A. K. Quantum cryptography based on Bell's theorem // Physical Review Letters. — 1991. — Vol. 67, No. 6. — P. 661–663.