CNOT

CNOT (от англ. Controlled NOT — управляемое отрицание), также известный как управляемое НЕ, контролируемое НЕ или CNOT-гейт — это двухкубитный квантовый логический элемент, являющийся квантовым аналогом классического элемента «исключающее ИЛИ» (XOR) и одним из ключевых универсальных вентилей в квантовых вычислениях. CNOT реализует операцию, при которой состояние одного кубита (целевого) инвертируется (меняется с |0⟩ на |1⟩ и наоборот) только в том случае, если другой кубит (управляющий) находится в состоянии |1⟩. Вместе с однокубитными вентилями (например, Адамара, Паули) CNOT образует универсальный набор, позволяющий реализовать произвольное квантовое преобразование.

Определение и математическое описание

CNOT действует на два кубита: управляющий (control) и целевой (target). В базисе вычислительных состояний {|00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩} его действие описывается унитарной матрицей 4×4:

\[ \text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Матрица показывает, что состояния |00⟩ и |01⟩ (где управляющий кубит равен 0) остаются неизменными, а состояния |10⟩ и |11⟩ (где управляющий кубит равен 1) меняются местами: |10⟩ → |11⟩, |11⟩ → |10⟩. В терминах булевой алгебры, если управляющий кубит — \(c\), а целевой — \(t\), то выходное состояние целевого кубита равно \(t \oplus c\) (сложение по модулю 2).

История

Концепция управляемого квантового вентиля была впервые предложена в 1980-х годах в рамках разработки моделей квантовых вычислений. В 1985 году Дэвид Дойч в своей работе «Квантовая теория, принцип Черча — Тьюринга и универсальный квантовый компьютер» описал универсальный квантовый гейт, который включал в себя управляемое отрицание. Дальнейшее развитие теория CNOT получила в работах Адриана Бата, Чарльза Беннета и других исследователей, которые показали, что CNOT вместе с однокубитными вращениями образует универсальный набор для квантовых вычислений. В 1995 году Питер Шор и Эндрю Стин предложили схемы коррекции квантовых ошибок, где CNOT является ключевым элементом для кодирования и декодирования логических кубитов.

Физическая реализация

CNOT реализуется в различных физических платформах квантовых компьютеров:

Сверхпроводящие кубиты

В сверхпроводящих системах (например, на основе трансмонов) CNOT реализуется через резонансное взаимодействие кубитов, соединённых резонаторами или ёмкостной связью. Типичная реализация включает последовательность микроволновых импульсов, настроенных на частоту перехода между состояниями. Время выполнения CNOT в таких системах составляет от 10 до 100 наносекунд.

Ионные ловушки

В ионных квантовых компьютерах CNOT реализуется через лазерные импульсы, воздействующие на коллективные колебательные моды ионов. Кубиты кодируются в электронных или сверхтонких уровнях ионов (например, ⁴⁰Ca⁺ или ¹⁷¹Yb⁺). Время выполнения может достигать нескольких микросекунд.

Фотонные системы

В линейно-оптических квантовых вычислениях CNOT реализуется с помощью нелинейных оптических элементов (например, кристаллов с квадратичной нелинейностью) или через пост-селекцию с использованием поляризационных светоделителей. В 2003 году группа под руководством Джереми О’Брайена впервые продемонстрировала фотонный CNOT-гейт с вероятностью успеха 25%.

Квантовые точки

В полупроводниковых квантовых точках CNOT реализуется через обменное взаимодействие или через спин-зависимое туннелирование. Такие системы требуют криогенных температур (ниже 1 К) и сложной нанофабрикации.

Применение

CNOT является фундаментальным строительным блоком для многих квантовых алгоритмов и протоколов:

Квантовая телепортация

В протоколе квантовой телепортации, предложенном Чарльзом Беннетом в 1993 году, CNOT используется для создания перепутанного состояния (Bell-состояния) между отправителем и получателем, а также для коррекции ошибок после передачи.

Квантовая коррекция ошибок

В кодах коррекции ошибок (например, коде Шора, коде Стина) CNOT применяется для кодирования логических кубитов в физические и для синдромного измерения. Например, в трёхкубитном коде коррекции флип-ошибок CNOT используется для копирования информации о состоянии кубита на вспомогательные кубиты.

Квантовое преобразование Фурье

В алгоритмах факторизации (Шора) и поиска (Гровера) CNOT входит в состав схем, реализующих квантовое преобразование Фурье и управляемые фазовые сдвиги.

Квантовое обучение

В вариационных квантовых алгоритмах (например, VQE, QAOA) CNOT используется для создания перепутанности между кубитами в анзаце (пробной волновой функции). Глубина схемы с CNOT влияет на выразительную способность квантовой нейронной сети.

Свойства и ограничения

Универсальность

Вместе с однокубитными вентилями (например, гейтами Адамара \(H\), Паули \(X\), \(Y\), \(Z\) и фазовыми сдвигами) CNOT образует универсальный набор для квантовых вычислений. Это означает, что любое унитарное преобразование над \(n\) кубитами может быть аппроксимировано с произвольной точностью конечной последовательностью CNOT и однокубитных гейтов.

Перепутывание

CNOT является ключевым элементом для создания перепутанных состояний. Например, применение CNOT к состоянию |+⟩⊗|0⟩ (где |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2) даёт максимально перепутанное состояние Белла (|00⟩+|11⟩)/√2. Без CNOT невозможно создать перепутанность между кубитами в квантовых схемах.

Обратимость

Как и все квантовые гейты, CNOT унитарен и обратим: его обратная операция совпадает с ним самим (CNOT⁻¹ = CNOT). Это свойство отличает его от классического XOR, который необратим (потеря информации о значении управляющего бита).

Ошибки и шум

На практике CNOT является одним из самых «шумных» гейтов в квантовых процессорах. Типичная точность (fidelity) CNOT в современных сверхпроводящих системах составляет 99–99.9%, что ограничивает глубину квантовых схем из-за накопления ошибок. Для масштабирования квантовых компьютеров требуется точность CNOT выше 99.99% (порог для поверхностных кодов коррекции ошибок).

Классификация и варианты

CNOT и CZ

CNOT тесно связан с управляемым Z-гейтом (CZ). CZ инвертирует фазу состояния |11⟩, а CNOT может быть получен из CZ с помощью однокубитных преобразований Адамара на целевом кубите: CNOT = (I ⊗ H) · CZ · (I ⊗ H). В некоторых физических реализациях (например, в сверхпроводящих кубитах) CZ реализуется проще, чем CNOT.

Многокубитные управляемые гейты

CNOT является частным случаем семейства управляемых гейтов, где управляющих кубитов может быть несколько. Например, Toffoli-гейт (CCNOT) — трёхкубитный вентиль с двумя управляющими кубитами, который инвертирует целевой кубит только если оба управляющих равны |1⟩. Toffoli-гейт может быть декомпозирован в последовательность из нескольких CNOT и однокубитных гейтов.

CNOT в квантовых сетях

В распределённых квантовых вычислениях CNOT может быть реализован между удалёнными кубитами через протоколы квантовой телепортации или с использованием вспомогательных перепутанных состояний. Это позволяет строить квантовые сети, где CNOT выполняется между узлами, разделёнными расстоянием в десятки километров.

Интересные факты

• CNOT является одним из немногих двухкубитных гейтов, которые могут быть реализованы с помощью только одного взаимодействия между кубитами (например, обменного взаимодействия в квантовых точках).
• В 2019 году группа из Google (компания Alphabet Inc.) продемонстрировала квантовое превосходство на процессоре Sycamore, где CNOT был основным двухкубитным гейтом. Точность CNOT в этом эксперименте составила около 99.4%.
• В квантовой криптографии CNOT используется для создания перепутанных состояний в протоколах распределения ключей (например, E91).
• CNOT не может быть реализован с помощью только однокубитных операций — это минимальный гейт, создающий перепутанность.

Источники

• Nielsen M. A., Chuang I. L. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2010.
• Deutsch D. Quantum theory, the Church–Turing principle and the universal quantum computer // Proceedings of the Royal Society of London. A, 1985.
• Bennett C. H., Brassard G., Crépeau C. et al. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels // Physical Review Letters, 1993.
• Shor P. W. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory // Physical Review A, 1995.
• Arute F., Arya K., Babbush R. et al. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor // Nature, 2019.
• Barenco A., Bennett C. H., Cleve R. et al. Elementary gates for quantum computation // Physical Review A, 1995.