Среднее по Колмогорову

Среднее по Колмогорову — это обобщение понятия среднего значения, введённое советским математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1930 году. Оно представляет собой класс средних величин, которые вычисляются с помощью произвольной непрерывной и строго монотонной функции, что позволяет единообразно описывать различные виды средних (арифметическое, геометрическое, квадратическое и другие) как частные случаи.

Определение

Пусть задана непрерывная и строго монотонная функция \( f \) на некотором интервале вещественных чисел, и пусть \( x_1, x_2, \dots, x_n \) — набор чисел, принадлежащих этому интервалу. Средним по Колмогорову (или квази-средним) для данного набора называется величина:

\[ M_f(x_1, x_2, \dots, x_n) = f^{-1}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) \right), \]

где \( f^{-1} \) — обратная функция к \( f \). Иными словами, сначала к каждому числу применяется функция \( f \), затем вычисляется среднее арифметическое полученных значений, и результат преобразуется обратно с помощью \( f^{-1} \).

Основное требование к функции \( f \) — непрерывность и строгая монотонность (возрастание или убывание). Это гарантирует, что обратная функция существует и определена на том же интервале, а само среднее корректно определено для любого набора чисел из области определения.

История

Понятие среднего по Колмогорову было предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1930 году в работе «Об определении среднего» (нем. «Sur la notion de la moyenne»). Колмогоров, будучи одним из крупнейших математиков XX века, стремился создать аксиоматическую теорию средних величин, которая охватывала бы все известные на тот момент виды средних и позволяла бы выводить их свойства из общих принципов.

До Колмогорова средние величины рассматривались как отдельные, не связанные между собой понятия. Например, среднее арифметическое использовалось в статистике, среднее геометрическое — в геометрии и финансах, среднее квадратическое — в физике. Колмогоров показал, что все они являются частными случаями единой конструкции, задаваемой выбором подходящей функции \( f \). Это открытие позволило систематизировать теорию средних и выявить их общие свойства, такие как монотонность, непрерывность и симметричность.

Классификация и частные случаи

Выбор функции \( f \) определяет конкретный тип среднего. Наиболее распространённые примеры:

• Среднее арифметическое: \( f(x) = x \). Тогда \( M_f = \frac{1}{n} \sum x_i \).
• Среднее геометрическое: \( f(x) = \ln x \) (для положительных чисел). Тогда \( M_f = \sqrt[n]{\prod x_i} \).
• Среднее квадратическое (квадратичное): \( f(x) = x^2 \). Тогда \( M_f = \sqrt{\frac{1}{n} \sum x_i^2} \).
• Среднее гармоническое: \( f(x) = 1/x \) (для положительных чисел). Тогда \( M_f = \frac{n}{\sum 1/x_i} \).
• Среднее степенное (обобщённое среднее): \( f(x) = x^p \) для \( p \neq 0 \), где \( p \) — вещественное число. Тогда \( M_f = \left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \). При \( p = 0 \) среднее степенное определяется как среднее геометрическое.
• Среднее экспоненциальное: \( f(x) = e^{ax} \), где \( a \neq 0 \). Тогда \( M_f = \frac{1}{a} \ln\left( \frac{1}{n} \sum e^{a x_i} \right) \).

Важно отметить, что не все средние, используемые в математике, являются средними по Колмогорову. Например, медиана и мода не могут быть представлены в таком виде, так как они не удовлетворяют аксиоме непрерывности по всем аргументам.

Свойства

Среднее по Колмогорову обладает рядом фундаментальных свойств, которые следуют из его определения и свойств функции \( f \):

• Непрерывность: Если функция \( f \) непрерывна, то среднее непрерывно зависит от каждого из аргументов.
• Симметричность: Значение среднего не зависит от перестановки чисел в наборе.
• Монотонность: Если все числа набора увеличить, то среднее также увеличится (при возрастающей \( f \)).
• Идемпотентность: Если все числа равны между собой (\( x_1 = x_2 = \dots = x_n = c \)), то среднее равно этому числу \( c \).
• Однородность: В общем случае среднее по Колмогорову не является однородным (то есть \( M_f(kx_1, \dots, kx_n) \neq k M_f(x_1, \dots, x_n) \) для произвольного \( k \)). Однако для степенных средних (при \( f(x) = x^p \)) однородность выполняется.
• Инвариантность относительно линейного преобразования: Если \( f(x) = a x + b \), то среднее по Колмогорову совпадает со средним арифметическим.

Колмогоров также показал, что его определение среднего является единственным, удовлетворяющим определённому набору аксиом: непрерывности, симметричности, монотонности и ассоциативности (возможности последовательного вычисления среднего для подмножеств).

Применение

Среднее по Колмогорову широко используется в различных областях математики, статистики, физики и экономики.

• Статистика и обработка данных: Выбор функции \( f \) позволяет подбирать среднее, устойчивое к выбросам или, наоборот, чувствительное к ним. Например, среднее квадратическое усиливает влияние больших значений, а среднее гармоническое — малых.
• Экономика и финансы: Среднее геометрическое применяется для расчёта средней доходности инвестиций за несколько периодов, так как оно учитывает сложный процент. Среднее гармоническое используется для усреднения курсов валют или цен при обратной пропорциональности.
• Физика: Среднее квадратическое используется для вычисления среднеквадратичной скорости молекул в кинетической теории газов или среднеквадратичного отклонения в теории погрешностей.
• Теория информации: Среднее по Колмогорову лежит в основе обобщённых средних, используемых в энтропийных мерах.
• Математическая статистика: Понятие квази-среднего обобщает методы оценивания параметров распределений.

Обобщения и родственные понятия

Среднее по Колмогорову является частным случаем более общего понятия — квази-среднего, которое может быть определено для произвольной меры (не обязательно равномерного распределения весов). Если вместо равных весов \( 1/n \) используются веса \( w_i \), сумма которых равна 1, то получается взвешенное среднее по Колмогорову:

\[ M_f(x_1, \dots, x_n) = f^{-1}\left( \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \right). \]

Другим обобщением является среднее по Харди — Литтлвуду, которое использует интегральные преобразования, а не дискретные суммы.

Также существует понятие среднего по Коши, которое определяется как решение уравнения \( \sum f(x_i - M) = 0 \), но оно не всегда совпадает со средним по Колмогорову.

Критика и ограничения

Несмотря на широкую применимость, среднее по Колмогорову имеет ограничения. Оно не может быть использовано для данных, не принадлежащих области определения функции \( f \). Например, среднее геометрическое определено только для положительных чисел, а среднее гармоническое — для чисел, не равных нулю. Кроме того, выбор функции \( f \) часто произволен и требует обоснования, что может приводить к субъективности в интерпретации результатов.

В некоторых задачах, например, при анализе распределений с тяжёлыми хвостами, среднее по Колмогорову может быть неустойчивым, и предпочтение отдаётся робастным оценкам, таким как медиана.

Интересные факты

• Андрей Колмогоров ввёл это понятие в возрасте 27 лет, в период активной работы над основаниями теории вероятностей и функционального анализа.
• Среднее по Колмогорову является частным случаем квази-арифметического среднего, которое изучалось ещё в XIX веке немецким математиком Отто Хёльдером, но именно Колмогоров дал аксиоматическое обоснование.
• В некоторых источниках среднее по Колмогорову называют средним по Колмогорову — Нагумо, так как японский математик Митио Нагумо независимо предложил аналогичную конструкцию в 1930-х годах.

Источники

1. Колмогоров А. Н. «Об определении среднего» (1930).
2. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Пойа Г. «Неравенства» (1934).
3. Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения» (1968).
4. Боровков А. А. «Математическая статистика» (1984).
5. Нагумо М. «О средних величинах» (1935).