Статистика Ферми — Дирака

Статистика Ферми — Дирака — это раздел квантовой статистической физики, описывающий распределение по энергетическим состояниям тождественных частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули. Такие частицы называются фермионами, и к ним относятся, например, электроны, протоны, нейтроны, кварки и нейтрино. Статистика Ферми — Дирака является фундаментальной основой для понимания свойств твёрдых тел, металлов, полупроводников, а также физики вырожденного вещества в астрофизике (белые карлики, нейтронные звёзды).

История

Статистика была разработана независимо друг от друга двумя физиками: итальянцем Энрико Ферми и британцем Полем Дираком. В 1926 году Ферми опубликовал статью, в которой применил принцип запрета Паули к статистическому описанию идеального газа электронов. В том же году Дирак вывел более общую формулировку квантовой статистики, показав, что волновые функции системы фермионов антисимметричны относительно перестановки частиц. В честь обоих учёных распределение получило название «распределение Ферми — Дирака».

Основные положения

Фермионы и принцип Паули

В квантовой механике все элементарные частицы делятся на два класса по спину: фермионы (полуцелый спин: 1/2, 3/2 и т. д.) и бозоны (целый спин: 0, 1, 2). Для фермионов действует принцип запрета Паули: в одной квантовой системе не может находиться два или более фермиона в одинаковом квантовом состоянии. Это означает, что каждое энергетическое состояние может быть занято не более чем одной частицей.

Функция распределения Ферми — Дирака

Вероятность того, что состояние с энергией \(E\) занято фермионом при температуре \(T\), описывается функцией:

\[ f(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_B T}\right) + 1} \]

где:

• \(E\) — энергия состояния,
• \(\mu\) — химический потенциал (при \(T = 0\) он равен энергии Ферми \(E_F\)),
• \(k_B\) — постоянная Больцмана,
• \(T\) — абсолютная температура.

При \(T = 0\) функция принимает ступенчатый вид: все состояния с энергией \(E < E_F\) заняты (вероятность 1), а с \(E > E_F\) — пусты (вероятность 0). При повышении температуры ступень размывается, и появляется небольшая вероятность заселения состояний выше уровня Ферми.

Энергия Ферми

Энергия Ферми (\(E_F\)) — это максимальная энергия, которую может иметь фермион при абсолютном нуле температуры. Она определяется концентрацией частиц и их массой. Для свободного электронного газа:

\[ E_F = \frac{\hbar^2}{2m} (3\pi^2 n)^{2/3} \]

где \(n\) — концентрация электронов, \(m\) — масса электрона, \(\hbar\) — приведённая постоянная Планка.

Применение в физике

Электроны в металлах

Одно из важнейших применений статистики Ферми — Дирака — описание поведения электронов проводимости в металлах и полупроводниках. В модели свободных электронов (модель Зоммерфельда) электронный газ рассматривается как идеальный ферми-газ. Это позволяет объяснить:

• Теплоёмкость металлов: при низких температурах электронная теплоёмкость пропорциональна \(T\), а не постоянна, как предсказывала классическая теория.
• Электропроводность и теплопроводность.
• Эффект Холла и другие кинетические явления.

Полупроводники

В полупроводниках уровень Ферми играет ключевую роль в определении типа проводимости. В собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно посередине запрещённой зоны. При легировании донорными примесями (n-тип) уровень Ферми смещается вверх, к зоне проводимости; при акцепторных примесях (p-тип) — вниз, к валентной зоне. Распределение Ферми — Дирака позволяет рассчитать концентрацию свободных носителей заряда в зависимости от температуры и уровня легирования.

Вырожденное вещество в астрофизике

В астрофизике статистика Ферми — Дирака применяется для описания вещества в экстремальных состояниях, например, в белых карликах и нейтронных звёздах. В таких объектах плотность настолько велика, что электроны (или нейтроны) образуют вырожденный ферми-газ. Давление вырождения (ферми-давление) противодействует гравитационному сжатию, что объясняет стабильность этих звёзд. Для белых карликов это давление называется давлением вырожденного электронного газа, а для нейтронных звёзд — давлением вырожденного нейтронного газа.

Математическое описание

Статистическая сумма

Для системы фермионов в большом каноническом ансамбле статистическая сумма (большая статистическая сумма) имеет вид:

\[ \Xi = \prod_i \left(1 + e^{-\beta (E_i - \mu)}\right) \]

где \(\beta = 1/(k_B T)\), произведение берётся по всем одночастичным состояниям \(i\). Это выражение отражает тот факт, что каждое состояние может быть либо пустым, либо занятым одной частицей.

Среднее число частиц

Среднее число частиц в системе определяется как:

\[ \langle N \rangle = \sum_i f(E_i) = \sum_i \frac{1}{e^{\beta (E_i - \mu)} + 1} \]

Плотность состояний

Для расчёта макроскопических свойств (энергия, теплоёмкость) используется плотность состояний \(g(E)\) — число состояний в единице объёма в интервале энергий от \(E\) до \(E + dE\). Для трёхмерного свободного электронного газа:

\[ g(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{E} \]

Тогда полное число частиц и полная энергия вычисляются интегрированием:

\[ N = \int_0^\infty g(E) f(E) dE, \quad U = \int_0^\infty E g(E) f(E) dE \]

Отличие от статистики Бозе — Эйнштейна

Статистика Ферми — Дирака отличается от статистики Бозе — Эйнштейна, которая описывает бозоны (частицы с целым спином). Для бозонов принцип запрета Паули не действует, поэтому в одном состоянии может находиться любое число частиц. Функция распределения Бозе — Эйнштейна имеет вид:

\[ f_{BE}(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_B T}\right) - 1} \]

При низких температурах бозоны могут образовывать конденсат Бозе — Эйнштейна — макроскопическое количество частиц в основном состоянии. Для фермионов такой эффект невозможен из-за запрета Паули, однако при определённых условиях (например, в сверхпроводниках) фермионы могут образовывать куперовские пары, которые ведут себя как бозоны.

Интересные факты

• В 1926 году Энрико Ферми первоначально назвал своё распределение «статистикой Паули», однако позже оно получило имя обоих учёных.
• Статистика Ферми — Дирака сыграла ключевую роль в создании транзистора — основы современной электроники. Понимание поведения электронов в полупроводниках невозможно без этой статистики.
• В белых карликах плотность вещества достигает \(10^6\) г/см³, а давление вырожденного электронного газа удерживает звезду от коллапса. Если масса белого карлика превышает предел Чандрасекара (около 1,44 массы Солнца), гравитация преодолевает давление вырождения, и звезда коллапсирует в нейтронную звезду или чёрную дыру.
• В нейтронных звёздах плотность ядерного вещества настолько велика, что нейтроны также образуют вырожденный ферми-газ. Это одна из немногих природных лабораторий, где можно наблюдать эффекты, предсказываемые статистикой Ферми — Дирака при экстремальных условиях.

Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Статистическая физика. Часть 1» — М.: Наука, 1976.
• Киттель Ч. «Введение в физику твёрдого тела» — М.: Наука, 1978.
• Ферми Э. «Лекции по атомной физике» — М.: ИЛ, 1952.
• Dirac P. A. M. «On the Theory of Quantum Mechanics» — Proceedings of the Royal Society A, 1926.
• Ашкрофт Н., Мермин Н. «Физика твёрдого тела» — М.: Мир, 1979.