Свойство биссектрисы треугольника¶

Биссектриса треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при этой вершине пополам. Каждый треугольник имеет три биссектрисы, по одной из каждой вершины; все они пересекаются в одной точке — инцентре, который является центром вписанной окружности. Биссектриса обладает рядом строгих геометрических свойств, лежащих в основе многих теорем планиметрии.

¶Основное свойство биссектрисы

Главное метрическое свойство формулируется так: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Если в треугольнике ABC проведена биссектриса AL из вершины A к стороне BC, то:

AL делит BC так, что BL / LC = AB / AC.

Это утверждение называют теоремой о биссектрисе (или свойством деления стороны). Оно справедливо и для внешнего угла: биссектриса внешнего угла делит противоположную сторону внешним образом в отношении, равном отношению прилежащих сторон.

¶Доказательство через площади

Классическое доказательство опирается на равенство площадей. Треугольники ABL и ACL имеют общую высоту, опущенную из вершины A, поэтому их площади относятся как основания BL и LC. С другой стороны, те же треугольники имеют равные углы при вершине A (по определению биссектрисы), и их площади относятся как произведения прилежащих сторон: AB·AL и AC·AL. Приравнивая отношения, получаем BL / LC = AB / AC.

¶Формула длины биссектрисы

Длину биссектрисы l, проведённой к стороне, можно вычислить несколькими способами. Если стороны, прилежащие к углу, равны a и b, а противолежащая сторона разбита на отрезки m и n, то:

• через две стороны и угол: l = 2ab·cos(γ/2) / (a + b), где γ — угол между сторонами a и b;
• через стороны и полупериметр: l² = ab − mn, где m и n — отрезки противолежащей стороны.

Последнее соотношение называют теоремой о квадрате биссектрисы. Оно удобно тем, что не требует вычисления угла.

¶Биссектриса и вписанная окружность

Все три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре. Эта точка равноудалена от всех трёх сторон треугольника, а перпендикуляры, опущенные из неё на стороны, равны радиусу вписанной окружности. Именно поэтому инцентр служит центром окружности, касающейся всех сторон изнутри.

Расстояние от инцентра до сторон вычисляется через площадь S и полупериметр p: r = S / p. Это связывает свойство биссектрисы с важнейшими метрическими характеристиками треугольника.

¶Равнобедренный и равносторонний случаи

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой, высотой и серединным перпендикуляром. Это вытекает из симметрии фигуры: она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

В равностороннем треугольнике все три биссектрисы совпадают с медианами и высотами, а инцентр совпадает с центроидом и ортоцентром. Длина каждой биссектрисы равна a√3/2, где a — сторона треугольника.

¶Связанные соотношения

Из свойства биссектрисы вытекают полезные следствия:

• Теорема о трёх биссектрисах: отрезки, на которые биссектрисы делят стороны, связаны соотношением, позволяющим находить неизвестные элементы треугольника.
• Свойство биссектрисы и отношение площадей: биссектриса делит треугольник на части, площади которых пропорциональны прилежащим сторонам.
• Формула для отрезков: если биссектриса делит сторону c на отрезки m и n, то m = ac/(a + b), n = bc/(a + b).

Эти соотношения широко применяются при решении задач на вычисление сторон и углов.

¶Применение

Свойство биссектрисы используется в задачах планиметрии, при построении вписанных окружностей, в тригонометрии и в инженерной графике. Оно лежит в основе методов деления отрезков в заданном отношении и построения точек, равноудалённых от сторон угла. В аналитической геометрии уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми получают, приравнивая расстояния от точки до этих прямых.

В архитектуре и черчении свойство применяется для разметки симметричных элементов и построения сопряжений. В геодезии биссектриса помогает определять направления, равноудалённые от двух заданных линий.

¶Историческая справка

Свойства биссектрисы были известны ещё в античной геометрии. Евклид в «Началах» рассматривал деление угла пополам и связанные с этим построения. Теорема о пропорциональности отрезков стороны прилежащим сторонам вошла в классические курсы планиметрии и традиционно изучается в школьной программе. В русской учебной литературе свойство биссектрисы занимает одно из центральных мест в разделе о треугольниках наряду с теоремами о медианах и высотах.

¶Типичные ошибки

При использовании свойства важно помнить, что пропорция связывает отрезки противолежащей стороны с прилежащими сторонами, а не с противолежащей. Также свойство внутренней и внешней биссектрисы формулируется по-разному: во втором случае деление происходит внешним образом. Формула длины биссектрисы требует учёта именно того угла, из вершины которого она проведена.

Источники: учебники геометрии для средней школы, «Начала» Евклида, справочники по элементарной математике.