Тензор в математике и физике¶
Тензор — математическая структура, обобщающая понятия скаляра, вектора и матрицы; в общем случае тензор — это многомерный массив чисел (или других объектов), компоненты которого преобразуются по определённым законам при изменении базиса (координатной системы). Тензоры применяются в тензорном исчислении, дифференциальной геометрии, общей теории относительности, механике сплошных сред и других разделах математики и физики.
¶Определение и обозначения
Тензор ранга (порядка) $n$ — это многомерный массив с $n$ индексами. Скаляр — тензор нулевого ранга, вектор — тензор первого ранга, матрица — тензор второго ранга. Индексы записываются обычно сверху (контравариантные) и снизу (ковариантные): $T^{i_1 \dots i_p}_{j_1 \dots j_q}$, где $p + q = n$ — ранг тензора.
Компоненты тензора $T$ в двух базисах связаны законом преобразования:
$$T'^{i_1 \dots i_p}_{j_1 \dots j_q} = \frac{\partial x'^{i_1}}{\partial x^{a_1}} \cdots \frac{\partial x'^{i_p}}{\partial x^{a_p}} \frac{\partial x^{b_1}}{\partial x'^{j_1}} \cdots \frac{\partial x^{b_q}}{\partial x'^{j_q}} T^{a_1 \dots a_p}_{b_1 \dots b_q}$$
Именно это свойство отличает тензор от произвольного набора чисел: компоненты тензора меняются при смене координат так, чтобы геометрический (физический) смысл объекта сохранялся.
¶История
Понятие тензора развивалось в XIX веке в связи с изучением криволинейных координат и дифференциальной геометрии. Термин «тензор» ввёл Грегорио Риччи-Курбастро в 1880-х годах в работах совместно с Туллио Леви-Чивита; их «Метод абсолютного дифференциального исчисления» (1900) стало классическим изложением тензорного анализа.
В физике тензорное исчисление широко применяется с начала XX века: Альберт Эйнштейн в общей теории относительности (1915) использовал тензор кривизны (тензор Римана), тензор энергии-импульса и метрический тензор. Эйнштейн ввёл соглашение о суммировании по повторяющимся индексам («соглашение Эйнштейна»), существенно упростившее запись тензорных формул.
В СССР тензорный анализ активно развивался в работах по механике сплошных сред и аэродинамике — вклад внесли А. Н. Крылов, С. А. Чаплыгин, Л. И. Седов (автор трёхтомника «Тензорный анализ», 1965).
¶Классификация
¶По рангу
| Ранг | Пример | Обозначение |
|---|---|---|
| 0 | Температура, масса | $\varphi$ |
| 1 | Вектор скорости, сила | $v^i$ |
| 2 | Метрический тензор, напряжения | $g_{ij}$, $\sigma^{ij}$ |
| 3 | Тензор трёхпорядковый (например, вязкость в анизотропных средах) | $c_{ijk}$ |
| $n$ | Тензор Римана | $R^i_{jkl}$ |
¶По типу преобразования
- Ковариантные тензоры — компоненты преобразуются с помощью матрицы перехода и её обратной.
- Контравариантные — с помощью обратной матрицы перехода.
- Смешанные — содержат оба типа индексов.
¶По свойствам симметрии
Тензор может быть симметричным (инвариантным при перестановке парных индексов), кососимметричным (меняющим знак при перестановке) или несимметричным. Например, метрический тензор $g_{ij}$ симметричен, а тензор кривизны Римана обладает рядом симметрий.
¶Основные операции
- Сложение тензоров одинакового ранга покомпонентно.
- Умножение на скаляр.
- Свёртка (сжатие) по паре индексов — аналог умножения матриц и скалярного произведения.
- Произведение Кронекера — образование тензора большего ранга из двух тензоров.
- Внешнее произведение — основа построения дифференциальных форм.
¶Применение
¶Физика
В общей теории относительности гравитация описывается метрическим тензором $g_{ij}$, а уравнения Эйнштейна связывают тензор кривизны с тензором энергии-импульса. В электродинамике электромагнитное поле описывается тензором Фарадея $F_{\mu\nu}$. В квантовой механике и теории относительности тензоры используются для описания спинорных полей и преобразований Лоренца.
¶Механика сплошных сред
Тензор напряжений $\sigma_{ij}$ описывает внутренние силы в деформируемом теле; тензор деформаций — геометрию деформации. Уравнения механики сплошных сред формулируются в тензорной форме, что обеспечивает их инвариантность относительно выбора системы координат.
¶Математика
В дифференциальной геометрии тензоры описывают кривизну многообразий (тензор Римана, тензор Риччи, скалярная кривизна). В теории относительности и космологии эти объекты определяют геометрию пространства-времени.
¶Тензоры в программировании
В вычислительной математике и машинном обучении термин «тензор» обозначает многомерный массив чисел — структуру данных, реализованную в библиотеках NumPy, TensorFlow, PyTorch. В отличие от строгого математического определения, здесь акцент делается на хранении и операциях над массивами, хотя преобразования при смене базиса остаются основой линейной алгебры и линейных нейронных сетей.
¶Интересные факты
- Соглашение Эйнштейна (молчаливое суммирование по повторяющимся индексам) позволяет записывать тензорные формулы компактно: $v^i = T^i_j u^j$ означает сумму по $j$.
- Тензорный анализ возник из потребностей геометрии и механики, а не из абстрактных математических интересов — это редкий пример «прикладного» происхождения фундаментальной теории.
- В общей теории относительности все физические величины, кроме скаляров, записываются как тензоры — это требование принципа относительности.
¶Источники
- Леви-Чивита Т. Абсолютное дифференциальное исчисление. — М.-Л.: Гостехиздат, 1936.
- Седов Л. И. Тензорный анализ. — М.: Наука, 1965.
- Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля. — М.: Наука.
- Широков М. Е. Тензорный анализ. — М.: Изд-во МГУ, 1969.