Тензор Вейля

Тензор Вейля — это тензорное поле, описывающее кривизну риманова или псевдориманова многообразия, которое не зависит от следа тензора кривизны Римана. В общей теории относительности тензор Вейля представляет собой бесследовую часть тензора Римана, отвечающую за гравитационные волны, приливные деформации и распространение гравитационного поля в вакууме. Он назван в честь немецкого математика Германа Вейля, который ввёл его в 1918 году в контексте попытки построения единой теории поля, объединяющей гравитацию и электромагнетизм.

Определение

Тензор Вейля \( C_{abcd} \) для \( n \)-мерного многообразия (при \( n \geq 3 \)) определяется через тензор кривизны Римана \( R_{abcd} \), тензор Риччи \( R_{ab} \) и скалярную кривизну \( R \) следующим образом:

\[ C_{abcd} = R_{abcd} - \frac{2}{n-2} \left( g_{a[c} R_{d]b} - g_{b[c} R_{d]a} \right) + \frac{2}{(n-1)(n-2)} R \, g_{a[c} g_{d]b}, \]

где квадратные скобки обозначают антисимметризацию по индексам, а \( g_{ab} \) — метрический тензор. В размерности \( n = 4 \) эта формула упрощается, и тензор Вейля обладает теми же симметриями, что и тензор Римана: он антисимметричен по первой и второй парам индексов, симметричен относительно перестановки пар и удовлетворяет тождеству Бьянки.

Ключевое свойство тензора Вейля — его бесследовость: свёртка по любой паре индексов даёт нуль, то есть \( C^a_{\,bad} = 0 \). Это означает, что вся информация о кривизне, связанная с материей (через уравнения Эйнштейна), содержится в тензоре Риччи, а тензор Вейля описывает чисто гравитационное поле в отсутствие источников.

История

Тензор Вейля был впервые предложен Германом Вейлем в 1918 году в работе «Reine Infinitesimalgeometrie» («Чистая инфинитезимальная геометрия»). Вейль стремился обобщить риманову геометрию, введя понятие калибровочной инвариантности, что привело его к созданию так называемой «вейлевской геометрии». В этой теории тензор Вейля играл роль аналога тензора электромагнитного поля. Однако физическая интерпретация Вейля не получила подтверждения, и его теория была отвергнута из-за отсутствия экспериментальных свидетельств.

В 1920-х годах тензор Вейля был переосмыслен в рамках общей теории относительности. Артур Эддингтон и другие физики показали, что он является естественной частью разложения тензора Римана на неприводимые компоненты. В 1960-х годах, с развитием теории гравитационных волн и изучением чёрных дыр, тензор Вейля приобрёл ключевое значение: он оказался связан с кривизной пространства-времени в вакууме, где тензор Риччи равен нулю.

Свойства

Алгебраические свойства

Тензор Вейля обладает теми же алгебраическими симметриями, что и тензор Римана:

• \( C_{abcd} = -C_{bacd} = -C_{abdc} \),
• \( C_{abcd} = C_{cdab} \),
• \( C_{a[bcd]} = 0 \) (циклическое тождество).

Кроме того, он бесследов: \( C^a_{\,bad} = 0 \). В размерности 4 тензор Вейля имеет 10 независимых компонент, что соответствует числу степеней свободы гравитационного поля в вакууме.

Конформная инвариантность

Одно из важнейших свойств тензора Вейля — его конформная инвариантность. При конформном преобразовании метрики \( g_{ab} \to \Omega^2 g_{ab} \), где \( \Omega \) — гладкая положительная функция, тензор Вейля преобразуется как:

\[ C^a_{\,bcd} \to C^a_{\,bcd}, \]

то есть остаётся неизменным. Это делает его центральным объектом в конформной геометрии — разделе дифференциальной геометрии, изучающем свойства многообразий, сохраняющиеся при конформных преобразованиях. Многообразие называется конформно плоским, если его тензор Вейля равен нулю. Например, пространство Минковского (плоское пространство-время специальной теории относительности) имеет нулевой тензор Вейля.

Связь с тензором Римана

Тензор Римана может быть разложен на три неприводимые компоненты: тензор Вейля, тензор Риччи и скалярную кривизну. В размерности \( n \geq 4 \) это разложение единственно и имеет вид:

\[ R_{abcd} = C_{abcd} + \frac{2}{n-2} \left( g_{a[c} R_{d]b} - g_{b[c} R_{d]a} \right) - \frac{2}{(n-1)(n-2)} R \, g_{a[c} g_{d]b}. \]

В размерности 3 тензор Вейля тождественно равен нулю, и вся кривизна определяется тензором Риччи. В размерности 2 тензор Вейля не определён, так как тензор Римана имеет только одну независимую компоненту.

Классификация

Типы по Петрову

В общей теории относительности тензор Вейля классифицируется по алгебраическому типу, известному как классификация Петрова (или классификация по Петрову-Пенроузу). Она основана на свойствах собственных значений и собственных векторов оператора, построенного из тензора Вейля. Выделяют три основных типа:

• Тип I: все четыре главных нулевых направления (изотропные векторы, вдоль которых тензор Вейля ведёт себя как произведение) различны. Соответствует общему случаю гравитационного поля.
• Тип II: два главных нулевых направления совпадают. Характерен для полей, создаваемых массивными телами, например, для метрики Шварцшильда.
• Тип III: три главных нулевых направления совпадают. Встречается в полях, описывающих гравитационное излучение.
• Тип D: два главных нулевых направления совпадают, и два других также совпадают. Типичен для чёрных дыр (метрика Керра) и других стационарных решений.
• Тип N: все четыре главных нулевых направления совпадают. Соответствует плоским волнам, например, гравитационным волнам в вакууме.

Классификация Петрова играет важную роль в изучении точных решений уравнений Эйнштейна и в теории гравитационных волн.

Конформная плоская метрика

Многообразие является конформно плоским, если его тензор Вейля равен нулю. В этом случае метрика может быть приведена к виду \( g_{ab} = \Omega^2 \eta_{ab} \), где \( \eta_{ab} \) — метрика плоского пространства (например, метрика Минковского). Примеры конформно плоских пространств-времён в общей теории относительности включают:

• Пространство-время Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW), используемое в космологии для описания однородной и изотропной Вселенной.
• Метрика де Ситтера и анти-де Ситтера.

Применение в физике

Гравитационные волны

В вакууме (где тензор Риччи равен нулю) тензор Вейля полностью определяет кривизну пространства-времени. Гравитационные волны — это возмущения метрики, распространяющиеся со скоростью света, и они описываются ненулевым тензором Вейля. В линейном приближении гравитационные волны соответствуют типу N по Петрову. В 2015 году коллаборация LIGO впервые зарегистрировала гравитационные волны, что подтвердило предсказания общей теории относительности.

Чёрные дыры

Для чёрных дыр, описываемых решениями Шварцшильда и Керра, тензор Вейля имеет тип D. Он отвечает за приливные силы, которые испытывает тело, падающее в чёрную дыру. Вблизи сингулярности тензор Вейля становится бесконечным, что указывает на разрушение геометрии пространства-времени.

Космология

В космологии тензор Вейля используется для анализа анизотропных возмущений в ранней Вселенной. В моделях инфляции тензор Вейля может быть связан с генерацией гравитационных волн. Кроме того, в контексте гипотезы «тензора Вейля» Пенроуза предполагается, что начальные условия Вселенной (вблизи Большого взрыва) характеризуются нулевым тензором Вейля, что обеспечивает однородность и изотропию.

Критика и ограничения

Тензор Вейля не является наблюдаемой величиной в прямом смысле, так как его компоненты зависят от выбора системы координат. Однако его инварианты (например, скаляр \( C_{abcd} C^{abcd} \)) могут быть измерены косвенно через гравитационные эффекты. В размерности 3 тензор Вейля тождественно равен нулю, что ограничивает его применение в двумерных и трёхмерных моделях гравитации.

Интересные факты

• Тензор Вейля играет центральную роль в гипотезе «космической цензуры» Пенроуза, которая утверждает, что сингулярности, возникающие в общей теории относительности, всегда скрыты за горизонтом событий. Ненулевой тензор Вейля вблизи сингулярности может указывать на её «голую» природу.
• В конформной теории поля тензор Вейля используется для построения конформных аномалий — квантовых поправок, нарушающих конформную симметрию.
• В 2020-х годах тензор Вейля стал объектом исследований в контексте квантовой гравитации, где он может быть связан с топологическими эффектами.

Источники

• Wald, R. M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press.
• Penrose, R., & Rindler, W. (1984). Spinors and Space-Time. Cambridge University Press.
• Петров, А. З. (1966). Новые методы в общей теории относительности. Наука.
• Hawking, S. W., & Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press.
• Weyl, H. (1918). «Reine Infinitesimalgeometrie». Mathematische Zeitschrift, 2(3-4), 384–411.