Теорема косинусов¶

Теорема косинусов — это утверждение евклидовой геометрии, обобщающее теорему Пифагора на произвольные треугольники. Она устанавливает соотношение между длинами сторон треугольника и косинусом одного из его углов. Теорема является фундаментальным инструментом тригонометрии и используется для решения треугольников, то есть для нахождения неизвестных сторон и углов по известным данным.

¶Формулировка

Для плоского треугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) и углом \(\gamma\), лежащим против стороны \(c\), теорема косинусов записывается следующим образом:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]

Аналогичные формулы справедливы для других сторон:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \]

где \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) — углы треугольника, противолежащие сторонам \(a\), \(b\), \(c\) соответственно.

¶Частные случаи

¶Прямоугольный треугольник

Если угол \(\gamma\) равен 90° (\(\pi/2\) радиан), то \(\cos \gamma = 0\), и формула принимает вид:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

что является теоремой Пифагора. Таким образом, теорема косинусов является её обобщением.

¶Остроугольный и тупоугольный треугольники

• Если угол \(\gamma\) острый (\(\gamma < 90°\)), то \(\cos \gamma > 0\), и \(c^2 < a^2 + b^2\).
• Если угол \(\gamma\) тупой (\(\gamma > 90°\)), то \(\cos \gamma < 0\), и \(c^2 > a^2 + b^2\).

Это свойство позволяет по квадрату одной стороны и сумме квадратов двух других сторон судить о типе треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

¶Доказательство

Существует несколько способов доказательства теоремы косинусов. Наиболее распространённое — векторное или координатное.

¶Координатное доказательство

Рассмотрим треугольник \(ABC\) на координатной плоскости. Поместим вершину \(A\) в начало координат, вершину \(B\) — на ось \(Ox\) так, что \(AB = c\). Тогда координаты точек:

• \(A(0, 0)\)
• \(B(c, 0)\)
• \(C(b \cos \alpha, b \sin \alpha)\), где \(\alpha\) — угол при вершине \(A\), а \(b = AC\).

Длина стороны \(a = BC\) вычисляется по формуле расстояния между точками:

\[ a^2 = (b \cos \alpha - c)^2 + (b \sin \alpha - 0)^2 = b^2 \cos^2 \alpha - 2bc \cos \alpha + c^2 + b^2 \sin^2 \alpha \]

Учитывая, что \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\), получаем:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]

что и требовалось доказать.

¶Векторное доказательство

Пусть \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) — векторы, образующие треугольник, причём \(\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}\). Возведём в квадрат:

\[ |\vec{c}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} \]

Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \gamma\), где \(\gamma\) — угол между векторами. Отсюда следует формула теоремы косинусов.

¶Применение

¶Решение треугольников

Теорема косинусов используется в двух основных случаях:

1. По двум сторонам и углу между ними — для нахождения третьей стороны.
2. По трём сторонам — для нахождения любого угла треугольника. Для этого формулу преобразуют:

\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

¶Геодезия и навигация

В геодезии теорема косинусов применяется для вычисления расстояний между точками на поверхности Земли (с учётом сферической геометрии — сферическая теорема косинусов). В навигации она используется для расчёта курса и дальности по координатам.

¶Физика

В механике теорема косинусов применяется для сложения векторов (например, сил или скоростей), когда известны их модули и угол между ними. Результирующий вектор находится по правилу параллелограмма, и его длина вычисляется по формуле:

\[ F_{\text{рез}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \]

где \(\theta\) — угол между векторами (внимание: знак «плюс» перед косинусом, так как угол берётся между векторами, а не между сторонами треугольника).

¶Компьютерная графика

В трёхмерной графике теорема косинусов используется для расчёта освещения (модель Ламберта), где интенсивность отражённого света зависит от косинуса угла между нормалью к поверхности и направлением на источник света.

¶Обобщения

¶Теорема косинусов для четырёхугольника

Для произвольного выпуклого четырёхугольника со сторонами \(a, b, c, d\) и диагональю \(e\) существует аналог теоремы косинусов, называемый теоремой Птолемея или формулой Бретшнайдера:

\[ e^2 = \frac{(ac + bd)(ad + bc)}{ab + cd} \]

Однако более прямым обобщением является теорема косинусов для четырёхугольника, связывающая стороны и диагонали через косинусы углов.

¶Сферическая теорема косинусов

В сферической геометрии, на поверхности сферы, теорема косинусов имеет вид:

\[ \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos \gamma \]

где \(a, b, c\) — длины сторон сферического треугольника (в радианах), а \(\gamma\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\). Эта формула используется в астрономии и навигации.

¶Теорема косинусов в векторной форме

В векторной алгебре теорема косинусов является следствием свойств скалярного произведения и справедлива для любого евклидова пространства.

¶История

Теорема косинусов была известна ещё в античности. В «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.) содержатся её частные случаи для тупоугольных и остроугольных треугольников (книга II, предложения 12 и 13). Однако в явном виде с использованием тригонометрических функций теорема была сформулирована значительно позже. Персидский математик аль-Бируни (XI век) и европейские учёные эпохи Возрождения, такие как Франсуа Виет (XVI век), внесли вклад в её развитие. Современная алгебраическая запись с косинусом появилась в трудах Леонарда Эйлера (XVIII век).

¶Интересные факты

• Теорема косинусов является частным случаем более общей теоремы Стюарта, которая связывает длины сторон треугольника и отрезка, проведённого из вершины к противоположной стороне.
• В тригонометрии теорема косинусов вместе с теоремой синусов образует основу для решения треугольников.
• Если угол \(\gamma\) равен 0° (стороны \(a\) и \(b\) совпадают), то \(c = |a - b|\), что соответствует вырожденному треугольнику.
• В некоторых учебниках теорему косинусов называют также «обобщённой теоремой Пифагора».

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение, 2013.
• Погорелов А. В. Геометрия. 7–11 классы. — М.: Просвещение, 1995.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Энциклопедия элементарной математики. Книга 4: Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Физматгиз, 1963.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1986.