Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа — фундаментальное утверждение теории групп, описывающее соотношение между порядками конечной группы и её подгрупп. Впервые доказана итальянским математиком Жозефом Луи Лагранжем в 1770–1771 годах в контексте теории перестановок, однако в современной формулировке для абстрактных групп была сформулирована позднее, в XIX веке. Теорема является одним из ключевых результатов теории групп, лежащим в основе многих дальнейших построений, включая классификацию конечных простых групп и теорию Галуа.

Формулировка

Пусть \(G\) — конечная группа, а \(H\) — её подгруппа. Тогда порядок \(G\) (обозначается \(|G|\)) делится на порядок \(H\) (обозначается \(|H|\)), причём частное равно индексу подгруппы \(H\) в \(G\): \[ |G| = |H| \cdot [G:H], \] где \([G:H]\) — количество левых (или правых) смежных классов \(G\) по \(H\).

Доказательство

Доказательство теоремы опирается на разбиение группы на смежные классы по подгруппе. Для конечной группы \(G\) и её подгруппы \(H\) рассмотрим множество левых смежных классов \(gH = \{ gh \mid h \in H \}\) для всех \(g \in G\). Каждый смежный класс имеет ту же мощность, что и \(H\) (поскольку отображение \(h \mapsto gh\) биективно). Различные смежные классы не пересекаются, а их объединение даёт всю группу \(G\). Следовательно, число смежных классов \([G:H]\) конечно, и \[ |G| = |H| \cdot [G:H]. \]

Следствия

Порядок элемента

Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок любого элемента \(a\) конечной группы \(G\) делит порядок группы. Действительно, циклическая подгруппа \(\langle a \rangle\), порождённая элементом \(a\), имеет порядок, равный порядку элемента, и по теореме этот порядок делит \(|G|\).

Классификация групп простого порядка

Если порядок группы \(G\) — простое число \(p\), то \(G\) является циклической группой. Это следует из того, что любой неединичный элемент имеет порядок, делящий \(p\), то есть равный \(p\), и порождает всю группу.

Теорема Коши

Обратное утверждение к теореме Лагранжа в общем случае неверно: не для каждого делителя порядка группы существует подгруппа данного порядка. Однако частичное обращение даёт теорема Коши: если простое число \(p\) делит \(|G|\), то в \(G\) существует элемент порядка \(p\) (а значит, и циклическая подгруппа порядка \(p\)).

Теорема Силова

Более сильное обращение дают теоремы Силова: для любого простого \(p\), делящего \(|G|\), существуют подгруппы порядка \(p^k\) (силовские \(p\)-подгруппы), где \(p^k\) — максимальная степень \(p\), делящая \(|G|\).

Примеры

Группа перестановок \(S_3\)

Группа \(S_3\) (симметрическая группа на трёх элементах) имеет порядок 6. Её подгруппы: тривиальная подгруппа \(\{e\}\) порядка 1, три подгруппы порядка 2 (например, \(\{e, (12)\}\)) и знакопеременная группа \(A_3\) порядка 3. Все эти порядки делят 6, что согласуется с теоремой Лагранжа. Подгруппы порядка 4 не существует, хотя 4 делит 6, — это демонстрирует, что обратное утверждение неверно.

Циклическая группа \(C_{12}\)

Циклическая группа порядка 12 имеет подгруппы всех порядков, делящих 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Для каждого делителя существует ровно одна подгруппа данного порядка.

История

Теорема была впервые сформулирована Лагранжем в 1770–1771 годах в его работе «Размышления о решении алгебраических уравнений» (фр. «Réflexions sur la résolution algébrique des équations»). Лагранж рассматривал группы перестановок корней многочленов и доказал, что порядок подгруппы перестановок делит порядок всей группы. Однако его доказательство было неполным и опиралось на интуитивные соображения. Строгое доказательство в современном виде было дано в XIX веке, в частности, в работах Огюстена Луи Коши и Эвариста Галуа. Термин «теорема Лагранжа» закрепился в математической литературе к концу XIX века.

Обобщения

Теорема Лагранжа для бесконечных групп

Для бесконечных групп теорема в исходной формулировке не применима, так как порядки могут быть бесконечными. Однако существует аналог: если \(G\) — бесконечная группа, а \(H\) — её подгруппа, то мощность \(G\) равна произведению мощности \(H\) на индекс \([G:H]\) (в смысле кардинальных чисел). Это утверждение верно для любых групп, если использовать понятие кардинальности.

Теорема Лагранжа для конечных полей

В теории конечных полей существует аналогичное утверждение: мультипликативная группа конечного поля \(\mathbb{F}_q\) (где \(q = p^n\)) является циклической группой порядка \(q-1\), и её подгруппы имеют порядки, делящие \(q-1\). Это следует из теоремы Лагранжа, применённой к мультипликативной группе поля.

Применения

Теория Галуа

Теорема Лагранжа является одним из ключевых инструментов в теории Галуа. Она используется для анализа разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: порядок группы Галуа многочлена делит степень поля разложения, что позволяет делать выводы о структуре корней.

Криптография

В криптографии на основе эллиптических кривых и в алгоритмах с открытым ключом (например, RSA) теорема Лагранжа применяется для анализа порядка циклических подгрупп, используемых в протоколах. В частности, порядок подгруппы, порождённой открытым ключом, должен делить порядок всей группы, что используется для проверки корректности ключей.

Комбинаторика

В комбинаторике теорема Лагранжа применяется для подсчёта числа перестановок с заданными свойствами, например, при анализе симметрических групп и их подгрупп.

Интересные факты

• Теорема Лагранжа является частным случаем более общей теоремы о том, что для любой группы \(G\) и её подгруппы \(H\) существует биекция между левыми и правыми смежными классами, что делает индекс корректно определённым.
• В некоторых учебниках теорему Лагранжа называют «теоремой Лагранжа о группах», чтобы отличать её от других теорем, носящих имя Лагранжа (например, теоремы Лагранжа о среднем значении в анализе).
• Теорема Лагранжа не имеет полного обращения: существуют конечные группы, в которых для некоторых делителей порядка нет подгрупп данного порядка. Например, знакопеременная группа \(A_4\) порядка 12 не имеет подгруппы порядка 6, хотя 6 делит 12.

Источники

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М.: Физматлит, 2004.
• Холл М. Теория групп. — М.: Иностранная литература, 1962.
• Lagrange J.-L. Réflexions sur la résolution algébrique des équations. — 1770–1771.