Теорема Шварца¶

Теорема Шварца (также известная как теорема о равенстве смешанных производных, или теорема Клеро — Шварца) — это фундаментальное утверждение математического анализа, устанавливающее достаточные условия, при которых результат повторного дифференцирования функции многих переменных не зависит от порядка дифференцирования. В своей классической формулировке теорема утверждает, что если частные производные второго порядка функции непрерывны в некоторой точке, то смешанные производные в этой точке равны.

¶История

Вопрос о независимости результата дифференцирования от порядка операций возник в XVIII веке в связи с развитием дифференциального исчисления и механики. Одним из первых, кто обратил внимание на это свойство, был швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783). В 1734 году он опубликовал работу, в которой, по сути, использовал равенство смешанных производных для решения некоторых задач гидродинамики, не давая строгого доказательства.

Французский математик Алекси Клеро (1713–1765) в 1739 году в мемуарах, посвящённых теории фигуры Земли, впервые чётко сформулировал и применил это свойство для потенциальных функций. Он показал, что для функций, описывающих гравитационный потенциал, смешанные производные равны. В честь него в западной литературе теорему часто называют теоремой Клеро.

Однако строгое доказательство в общем виде было дано лишь в XIX веке. Немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби (1804–1851) в 1841 году доказал равенство смешанных производных для функций, имеющих непрерывные вторые производные. Позднее, в 1873 году, итальянский математик Улисс Дини (1845–1918) ослабил условия, доказав теорему при условии существования одной из смешанных производных и её непрерывности.

Современное название и окончательная формулировка теоремы связаны с именем немецкого математика Германа Амандуса Шварца (1843–1921). В 1873 году он опубликовал работу, в которой привёл строгое доказательство и показал, что условие непрерывности смешанных производных является существенным и не может быть отброшено без потери справедливости утверждения. Он же построил классический контрпример, демонстрирующий, что при отсутствии непрерывности смешанные производные могут быть не равны.

¶Формулировка

Пусть функция \( f(x, y) \) определена в некоторой окрестности точки \( (x_0, y_0) \) и имеет в этой окрестности частные производные первого порядка \( f_x \) и \( f_y \). Если смешанные частные производные второго порядка \( f_{xy} \) и \( f_{yx} \) существуют в некоторой окрестности точки \( (x_0, y_0) \) и непрерывны в самой точке \( (x_0, y_0) \), то они равны:

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0, y_0) \]

¶Обобщение на случай многих переменных

Теорема Шварца может быть обобщена на функции любого конечного числа переменных. Для функции \( f(x_1, x_2, \dots, x_n) \) достаточно, чтобы все смешанные производные порядка \( k \), отличающиеся только порядком дифференцирования, были непрерывны в точке. В этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка операций.

¶Доказательство (основная идея)

Доказательство теоремы Шварца основано на применении теоремы Лагранжа о конечных приращениях и предельном переходе. Рассмотрим приращение функции \( f(x, y) \) в прямоугольнике с вершинами \( (x_0, y_0) \), \( (x_0 + h, y_0) \), \( (x_0, y_0 + k) \), \( (x_0 + h, y_0 + k) \). Составляется разностное отношение:

\[ \Delta(h, k) = f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0 + k) + f(x_0, y_0) \]

Это выражение можно представить двумя способами, используя теорему Лагранжа сначала по одной переменной, затем по другой. В результате получаются два выражения, содержащие \( f_{xy} \) и \( f_{yx} \) в некоторых промежуточных точках. При стремлении \( h \) и \( k \) к нулю, в силу непрерывности смешанных производных, оба выражения сходятся к одному и тому же пределу, что и доказывает равенство.

¶Контрпример Шварца

Герман Шварц построил пример функции, для которой смешанные производные существуют во всех точках, но не равны в точке \( (0,0) \). Этот пример демонстрирует, что условие непрерывности в формулировке теоремы является существенным.

Функция Шварца задаётся следующим образом:

\[ f(x, y) = \begin{cases} x^2 \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - y^2 \arctan\left(\frac{x}{y}\right), & xy \neq 0 \\ 0, & xy = 0 \end{cases} \]

Для этой функции в точке \( (0,0) \) существуют обе смешанные производные, но:

\[ f_{xy}(0,0) = -1, \quad f_{yx}(0,0) = 1 \]

Таким образом, \( f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0) \). Причина в том, что смешанные производные \( f_{xy} \) и \( f_{yx} \) не являются непрерывными в точке \( (0,0) \).

¶Значение и применение

¶В математическом анализе

Теорема Шварца является краеугольным камнем дифференциального исчисления функций многих переменных. Она лежит в основе:

• Определения дифференциала высшего порядка.
• Теории дифференциальных форм (лемма Пуанкаре).
• Исследования функций на экстремум (достаточные условия экстремума).

¶В дифференциальных уравнениях

Равенство смешанных производных используется при проверке потенциальности векторных полей. Если векторное поле \( \mathbf{F} = (P, Q) \) определено на односвязной области и его компоненты имеют непрерывные частные производные, то условие \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \) является необходимым и достаточным для того, чтобы поле было градиентом некоторой скалярной функции (потенциала). Это напрямую следует из теоремы Шварца.

¶В физике

В физике теорема Шварца широко применяется в термодинамике и механике сплошных сред. Например, в термодинамике из равенства смешанных производных термодинамических потенциалов следуют так называемые соотношения Максвелла — четыре важнейших уравнения, связывающие между собой термодинамические параметры (давление, объём, температуру, энтропию). Эти соотношения позволяют выражать одни термодинамические величины через другие, что имеет большое практическое значение.

¶В экономике и других науках

В экономической теории теорема Шварца используется при анализе функций полезности и производственных функций. Равенство смешанных производных второго порядка (симметричность матрицы Гессе) является условием, при котором можно говорить о независимости влияния факторов друг на друга.

¶Связанные понятия

• Матрица Гессе — матрица, составленная из всех вторых частных производных функции. Теорема Шварца гарантирует её симметричность для достаточно гладких функций.
• Гладкая функция — функция, имеющая непрерывные производные всех порядков. Для таких функций теорема Шварца выполняется автоматически.
• Лемма Шварца — другое утверждение в комплексном анализе, не связанное с данной теоремой.

¶Источники

• Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1.
• Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа», том 2.
• Зорич В. А. «Математический анализ», часть 1.
• Никольский С. М. «Курс математического анализа», том 1.
• Шварц Г. А. «Gesammelte mathematische Abhandlungen» (Собрание математических трудов), 1890.