Теория ядерных оболочек¶

Теория ядерных оболочек — это модель строения атомного ядра, основанная на представлении о движении каждого нуклона (протона или нейтрона) в самостоятельном усреднённом потенциальном поле, создаваемом всеми остальными нуклонами. Согласно этой модели, нуклоны в ядре заполняют дискретные энергетические уровни (оболочки), подобно электронам в атоме. Теория объясняет существование магических чисел ядер (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126), при которых ядра обладают повышенной стабильностью, а также предсказывает свойства ядерных состояний, спины и чётности.

¶История развития

¶Предпосылки создания

В 1930-х годах, после открытия нейтрона и протонно-нейтронной модели ядра, стало ясно, что ядерные силы имеют короткодействующий и насыщающий характер. Однако капельная модель ядра, предложенная Нильсом Бором, не могла объяснить ряд экспериментальных фактов:

• Магические числа: ядра с определённым числом протонов или нейтронов (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) оказались аномально стабильными, имели большее число изотопов и изотонов.
• Свойства основных состояний: спины и чётности ядер с чётным числом нуклонов одного типа часто равны 0⁺, а для нечётных ядер наблюдались закономерности.
• Энергии возбуждения: первые возбуждённые состояния магических ядер лежат значительно выше, чем у соседних.

¶Формулировка модели

В 1949 году независимо друг от друга Мария Гёпперт-Майер и Ханс Йенсен (совместно с Отто Хакселем и Хансом Зюссом) предложили оболочечную модель. Ключевым нововведением стало введение спин-орбитального взаимодействия — сильной зависимости энергии нуклона от взаимной ориентации его спина и орбитального момента. Это взаимодействие расщепляет вырожденные уровни и приводит к появлению магических чисел, соответствующих заполнению подоболочек. За эту работу в 1963 году Гёпперт-Майер и Йенсен получили Нобелевскую премию по физике.

¶Дальнейшее развитие

В 1950–1960-х годах теория была дополнена коллективными моделями (модель Бора — Моттельсона), учитывающими деформацию ядра и вращательные степени свободы. В 1970–1980-х годах появились обобщённые оболочечные модели, включающие остаточные взаимодействия между нуклонами, а также релятивистские версии. Современные вычислительные методы позволяют рассчитывать свойства ядер вплоть до острова стабильности.

¶Основные положения

¶Потенциальная яма

Нуклоны движутся в ядре под действием усреднённого потенциала, который чаще всего аппроксимируется потенциалом Вудса — Саксона: \[ V(r) = -\frac{V_0}{1 + \exp[(r - R)/a]} \] где \(V_0 \approx 50\) МэВ — глубина ямы, \(R = r_0 A^{1/3}\) — радиус ядра (\(r_0 \approx 1.2\) фм), \(a \approx 0.5\) фм — диффузность границы. Для упрощённых расчётов используется гармонический осциллятор или прямоугольная яма.

¶Спин-орбитальное взаимодействие

Добавление члена \(V_{LS} = -\alpha \frac{1}{r} \frac{dV}{dr} (\mathbf{l} \cdot \mathbf{s})\) приводит к расщеплению уровня с орбитальным моментом \(l\) на два подуровня с полным моментом \(j = l + 1/2\) и \(j = l - 1/2\). Состояние с большим \(j\) оказывается ниже по энергии, что меняет порядок заполнения оболочек. Именно это расщепление создаёт зазоры между оболочками при магических числах.

¶Квантовые числа

Каждый нуклон в ядре характеризуется набором квантовых чисел:

• Главное квантовое число \(n\) (номер оболочки, начиная с 1).
• Орбитальный момент \(l\) (0, 1, 2, 3... — s, p, d, f...).
• Полный момент \(j = l \pm 1/2\).
• Проекция полного момента \(m_j\).

¶Принцип Паули

Нуклоны одного типа (протоны или нейтроны) не могут находиться в одном квантовом состоянии. Заполнение уровней идёт от низших к высшим, причём на каждом уровне с моментом \(j\) может находиться \(2j+1\) нуклонов (по числу проекций \(m_j\)).

¶Магические числа и оболочки

¶Последовательность заполнения

В порядке возрастания энергии нуклонные уровни (с учётом спин-орбитального расщепления) располагаются следующим образом: 1s₁/₂ (2 нуклона) → 1p₃/₂ (4) → 1p₁/₂ (2) → 1d₅/₂ (6) → 2s₁/₂ (2) → 1d₃/₂ (4) → 1f₇/₂ (8) → 2p₃/₂ (4) → 1f₅/₂ (6) → 2p₁/₂ (2) → 1g₉/₂ (10) → 2d₅/₂ (6) → 1g₇/₂ (8) → 2d₃/₂ (4) → 3s₁/₂ (2) → 1h₁₁/₂ (12) → 2f₇/₂ (8) → 1h₉/₂ (10) → 3p₃/₂ (4) → 2f₅/₂ (6) → 3p₁/₂ (2) → 1i₁₃/₂ (14) → и т.д.

¶Магические числа

Суммирование числа нуклонов на полностью заполненных оболочках даёт магические числа:

• 2 (1s₁/₂)
• 8 (1p₃/₂ + 1p₁/₂)
• 20 (1d₅/₂ + 2s₁/₂ + 1d₃/₂)
• 28 (1f₇/₂)
• 50 (2p₃/₂ + 1f₅/₂ + 2p₁/₂ + 1g₉/₂)
• 82 (2d₅/₂ + 1g₇/₂ + 2d₃/₂ + 3s₁/₂ + 1h₁₁/₂)
• 126 (2f₇/₂ + 1h₉/₂ + 3p₃/₂ + 2f₅/₂ + 3p₁/₂ + 1i₁₃/₂)
• 184 (предсказанное для сверхтяжёлых ядер)

¶Двойная магичность

Ядра, у которых и число протонов, и число нейтронов являются магическими, называются дважды магическими. Они обладают особой стабильностью:

• ⁴He (Z=2, N=2) — альфа-частица
• ¹⁶O (Z=8, N=8)
• ⁴⁰Ca (Z=20, N=20)
• ⁴⁸Ca (Z=20, N=28)
• ⁵⁶Ni (Z=28, N=28)
• ¹³²Sn (Z=50, N=82)
• ²⁰⁸Pb (Z=82, N=126)

¶Предсказания и объяснения

¶Спины и чётности

Теория оболочек предсказывает спин и чётность основного состояния нечётного ядра по квантовым числам последнего неспаренного нуклона. Например, для ¹⁷O (8 протонов, 9 нейтронов) последний нейтрон находится на уровне 1d₅/₂, что даёт спин 5/2⁺, что совпадает с экспериментом.

¶Изомерия

Ядерная изомерия — существование долгоживущих возбуждённых состояний — объясняется большим различием спинов основного и возбуждённого состояний, что затрудняет гамма-переходы. Например, изомер ¹⁸⁰mHf (спин 8⁻) имеет период полураспада 5,5 часов.

¶Энергии возбуждения

Магические ядра имеют аномально высокую энергию первого возбуждённого состояния (2⁺), что связано с необходимостью разрыва заполненной оболочки. Для ²⁰⁸Pb эта энергия составляет 2,6 МэВ, тогда как для соседних ядер — 0,5–1 МэВ.

¶Ограничения модели

¶Неполнота описания

• Деформированные ядра: в областях между магическими числами (например, редкоземельные элементы) ядра сильно деформированы, и сферическая оболочечная модель даёт неверные результаты.
• Коллективные движения: вращательные и колебательные моды (гигантские резонансы) не описываются одночастичными переходами.
• Остаточные взаимодействия: парные корреляции нуклонов (сверхтекучесть ядерного вещества) требуют введения дополнительных членов.

¶Развитие моделей

Для преодоления ограничений были разработаны:

• Обобщённая модель Бора — Моттельсона (1953), объединяющая оболочечную и коллективную модели.
• Модель Нильссона (1955) для деформированных ядер.
• Модель с парными силами (Бардин, Купер, Шриффер, 1957) — ядерная сверхтекучесть.
• Модель неспаренных нуклонов (метод Хартри — Фока — Боголюбова).

¶Применение

¶Ядерная физика

• Классификация ядерных состояний и предсказание свойств изотопов.
• Расчёт сечений ядерных реакций.
• Понимание процессов нуклеосинтеза в звёздах (r-процесс, s-процесс).

¶Синтез сверхтяжёлых элементов

Теория оболочек предсказывает существование острова стабильности в районе Z=114–120, N=184. Синтез элементов 114 (флеровий) и 116 (ливерморий) подтвердил повышенную стабильность вблизи этих чисел.

¶Атомная энергетика

• Расчёт вероятностей деления и захвата нейтронов.
• Определение свойств ядерного топлива и продуктов деления.

¶Интересные факты

• Мария Гёпперт-Майер была второй женщиной после Марии Кюри, получившей Нобелевскую премию по физике.
• Первоначально идея оболочек в ядре встретила скептицизм, так как казалось, что сильное взаимодействие должно разрушить индивидуальные уровни.
• Спин-орбитальное взаимодействие в ядре примерно в 20 раз сильнее, чем в атоме, что и приводит к характерному расщеплению уровней.

¶Источники

• Гёпперт-Майер М., Йенсен Х. — «Элементарная теория ядерных оболочек» (1955)
• Бор О., Моттельсон Б. — «Структура атомного ядра» (т. 1–2, 1969–1975)
• Мурин А. Н. — «Введение в радиохимию» (1982)
• Ишханов Б. С., Капитонов И. М. — «Частицы и ядра» (2006)
• P. Ring, P. Schuck — «The Nuclear Many-Body Problem» (1980)