Треугольник: поиск неизвестной стороны¶

Треугольник — это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими эти точки попарно. Задача нахождения неизвестной стороны треугольника по двум известным — одна из базовых задач планиметрии, решаемых с помощью теоремы косинусов, теоремы Пифагора и ряда других соотношений. Конкретный метод зависит от того, какие именно данные известны: длины двух сторон и угол между ними, длины двух сторон и угол, прилежащий к одной из них, или же дополнительные сведения о треугольнике (например, что он прямоугольный или равнобедренный).

¶Основные теоремы

¶Теорема косинусов

Наиболее общий инструмент — теорема косинусов. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, лежащим между сторонами $a$ и $b$, она записывается в виде:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma.$$

Если известны две стороны и угол между ними, неизвестная сторона вычисляется напрямую по этой формуле. Теорема косинусов работает для любого треугольника — остроугольного, тупоугольного или прямоугольного.

¶Теорема Пифагора

Частный случай теоремы косинусов — теорема Пифагора, применимая к прямоугольному треугольнику. Если $\gamma = 90°$, то $\cos\gamma = 0$ и формула упрощается до:

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Если известны катеты, гипотенуза находится как $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Если известны гипотенуза и один катет, второй катет вычисляется как $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

¶Теорема синусов

Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противоположных им углов:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}.$$

Она полезна, когда известны две стороны и угол, не лежащий между ними (задача «боковой случай»). В этом случае возможны два решения, одно решение или их отсутствие — это так называемая неоднозначность случая «боковой угол и сторона».

¶Классификация задач

В зависимости от исходных данных задачи о поиске стороны треугольника делятся на несколько типов:

¶Примеры решения

¶Пример 1: две стороны и угол между ними

Пусть $a = 5$, $b = 7$, угол между ними $\gamma = 60°$. По теореме косинусов:

$$c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot 0{,}5 = 39.$$

Следовательно, $c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$.

¶Пример 2: прямоугольный треугольник

Известны катеты $a = 3$ и $b = 4$. Гипотенуза:

$$c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Это классический пример «пифагорова тройства» $(3, 4, 5)$.

¶Пример 3: две стороны и угол, не между ними

Пусть $a = 8$, $b = 5$, угол $\alpha = 30°$ против стороны $a$. По теореме синусов:

$$\sin\beta = \frac{b \sin\alpha}{a} = \frac{5 \cdot 0{,}5}{8} = 0{,}3125.$$

Отсюда $\beta \approx 18{,}2°$ или $\beta \approx 161{,}8°$. Второй вариант отвергается, так как $\alpha + \beta > 180°$. Тогда $\gamma = 180° - 30° - 18,2° = 131,8°$ и сторона $c$ находится по теореме синусов или косинусов.

¶Условия существования треугольника

Не любые две стороны допускают построение треугольника с третьей стороной. По неравенству треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Если известны $a$ и $b$, то третья сторона $c$ должна удовлетворять условию:

$$|a - b| < c < a + b.$$

Это условие необходимо проверять перед применением формул — оно гарантирует, что подкоренное выражение в теореме косинусов положительно, а угол $\gamma$ действителен.

¶Геометрическая интерпретация

Геометрически задача сводится к следующему: пусть сторона $a$ изображена отрезком $BC$. Точка $A$ должна лежать на окружности радиуса $b$ с центром в $C$. Если известен угол при вершине $C$, луч $CA$ задан однозначно и пересекает окружность в одной точке (или не пересекает, если условие существования не выполнено). Если угол не известен, а известен угол при другой вершине, возможны два пересечения — это и порождает неоднозначность «бокового случая».

¶Исторический контекст

Теорема косинусов известна с античности в работах по астрономии и навигации. В Европе она получила распространение благодаря трудам персидского математика Джамшида аль-Каши (XV век), поэтому в англоязычной традиции иногда называется теоремой аль-Каши. Теорема Пифагора, согласно античной традиции, известна с VI века до н. э., хотя египетские и вавилонские строители применяли соответствующие соотношения значительно раньше.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия: учебник для 7—9 классов.
• Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов.
• Кочетков Ю. С. Геометрия: учебное пособие для вузов.