Турбулентное число Прандтля¶

Турбулентное число Прандтля (обозначается \( \mathrm{Pr}_t \) или \( \mathrm{Pr}_{tur} \)) — безразмерный параметр, определяемый как отношение коэффициента турбулентной вязкости (вихревой диффузии импульса) к коэффициенту турбулентной температуропроводности (вихревой диффузии тепла). В отличие от молекулярного числа Прандтля, которое является физическим свойством жидкости, турбулентное число Прандтля характеризует интенсивность переноса импульса и тепла турбулентными вихрями и зависит от структуры потока, а не от рода среды.

¶Определение и физический смысл

Математически турбулентное число Прандтля выражается формулой:

\[ \mathrm{Pr}_t = \frac{\nu_t}{a_t} \]

где \( \nu_t \) — кинематический коэффициент турбулентной вязкости (турбулентный импульсный обмен), а \( a_t \) — коэффициент турбулентной температуропроводности (турбулентный тепловой обмен). Обе величины возникают в осреднённых уравнениях Навье — Стокса и энергии при использовании гипотезы Буссинеска о градиентном переносе.

Величина \( \mathrm{Pr}_t \) показывает, насколько эффективно турбулентность переносит импульс по сравнению с теплом. При \( \mathrm{Pr}_t \approx 1 \) механизмы переноса импульса и тепла турбулентными пульсациями эквивалентны. Значения \( \mathrm{Pr}_t < 1 \) указывают на более интенсивный тепловой обмен относительно импульсного, а \( \mathrm{Pr}_t > 1 \) — на преобладание переноса импульса.

¶Значения и особенности

В отличие от молекулярного числа Прандтля, которое для газов составляет порядка 0,7, а для жидкостей может варьироваться от 0,01 до 100 и более, турбулентное число Прандтля для большинства развитых турбулентных течений лежит в узком диапазоне 0,7–0,9. Экспериментальные исследования канальных и пограничных слоёв показывают, что в ядре потока \( \mathrm{Pr}_t \) близко к 0,85, однако вблизи стенки оно может изменяться, снижаясь до 0,7 в вязком подслое и возрастая в буферной зоне.

Для свободных сдвиговых течений (струи, следы, смесительные слои) значение \( \mathrm{Pr}_t \) часто принимается равным 0,5, что отражает более эффективный турбулентный перенос тепла по сравнению с импульсом. В стратифицированных течениях (атмосфера, океан) турбулентное число Прандтля может существенно отличаться от единицы и зависит от устойчивости стратификации: в устойчиво стратифицированной атмосфере оно может возрастать до 1,5–2,0, а в неустойчивой — снижаться.

¶Роль в моделировании турбулентности

Турбулентное число Прандтля является ключевым параметром в инженерных расчётах теплообмена. В большинстве моделей турбулентности, основанных на гипотезе Буссинеска (например, \( k-\varepsilon \), \( k-\omega \), модели Спаларта — Аллмараса), коэффициент турбулентной температуропроводности вычисляется через турбулентную вязкость и заданное значение \( \mathrm{Pr}_t \):

\[ a_t = \frac{\nu_t}{\mathrm{Pr}_t} \]

При этом само значение \( \mathrm{Pr}_t \) обычно задаётся как константа. В наиболее распространённых вычислительных кодах (ANSYS Fluent, OpenFOAM, STAR-CCM+) по умолчанию используется \( \mathrm{Pr}_t = 0,85 \). Это приближение хорошо работает для пристеночных течений газов и умеренно нагретых жидкостей, но может приводить к заметным погрешностям при расчёте жидкометаллических теплоносителей (натрий, свинец), где молекулярная теплопроводность высока, а турбулентный тепловой перенос играет меньшую роль.

Для жидких металлов разработаны эмпирические корреляции, связывающие \( \mathrm{Pr}_t \) с молекулярным числом Прандтля и турбулентными характеристиками потока, поскольку постоянное значение 0,85 даёт ошибку до 30–50 % в расчётах теплоотдачи. Альтернативные подходы включают использование алгебраических моделей для \( \mathrm{Pr}_t \), зависящих от расстояния до стенки и градиентов скорости, а также дифференциальных моделей теплового потока, решающих отдельные уравнения для турбулентных тепловых потоков.

¶Применение в геофизике и астрофизике

В геофизической гидродинамике турбулентное число Прандтля используется при моделировании атмосферного пограничного слоя, океанической циркуляции и процессов перемешивания. В моделях общей циркуляции атмосферы и океана значение \( \mathrm{Pr}_t \) влияет на вертикальный обмен теплом, влагой и импульсом, что определяет точность прогнозов погоды и климатических расчётов. В астрофизике параметр применяется при описании конвекции в звёздных недрах и аккреционных дисках, где турбулентный перенос тепла играет определяющую роль в эволюции системы.

¶Критика и ограничения

Основная критика концепции постоянного турбулентного числа Прандтля связана с тем, что оно не является универсальной константой. Эксперименты показывают его зависимость от числа Рейнольдса, стратификации, наличия плавучести и даже от типа турбулентности. В течениях с сильной анизотропией турбулентности (например, в пограничных слоях с продольными вихрями) скалярная величина \( \mathrm{Pr}_t \) оказывается недостаточной для точного описания теплопереноса, что стимулирует развитие моделей с тензорным представлением турбулентной диффузии тепла.

¶Источники

• Кадер Б. А., Яглам А. М. «Турбулентное число Прандтля и его применение в расчётах теплообмена» (обзорные данные).
• Kays W. M. «Turbulent Prandtl Number. Where Are We?» // Journal of Heat Transfer, 1994.
• Churchill S. W. «A Reinterpretation of the Turbulent Prandtl Number» // Industrial & Engineering Chemistry Research, 2002.
• Launder B. E., Spalding D. B. «Lectures in Mathematical Models of Turbulence», 1972.