Уравнение в математике¶

Уравнение — математическое тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), значение которых должно быть найдено так, чтобы тождество обращалось в верное равенство. Уравнение является одним из центральных понятий алгебры и математического анализа и служит основным инструментом математического моделирования: с его помощью формулируются задачи о нахождении неизвестного при заданных условиях.

¶Определение и основные понятия

Уравнением называют равенство вида f(x) = g(x), содержащее переменную (неизвестную) x. Решением уравнения называют такое значение переменной, при котором равенство обращается в истинное тождество. Совокупность всех решений образует множество решений уравнения. Если множество решений конечно, его элементы называют корнями уравнения.

Ключевые термины:

• Неизвестное (переменная) — величина, значение которой предстоит найти.
• Корень (решение) — значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство.
• Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых выражения уравнения имеют смысл.
• Эквивалентные уравнения — уравнения с одинаковым множеством решений.
• Совместное и несовместное уравнение — уравнение называется несовместным, если решений не существует (например, x² + 1 = 0 на вещественных числах).

¶Классификация

Уравнения разделяют по нескольким признакам.

По виду неизвестного:

• Алгебраические — неизвестное входит только в конечном числе арифметических действий (сложение, умножение, возведение в степень с целым показателем).
• Трансцендентные — неизвестное входит в состав функций, не являющихся алгебраическими (показательные, логарифмические, тригонометрические).

По степени алгебраического уравнения относительно неизвестного:

По числу неизвестных: уравнения с одним неизвестным, системами уравнений (несколько уравнений с несколькими неизвестными, решаемых совместно) и уравнения с несколькими переменными, где одно уравнение содержит два и более неизвестных.

По характеру коэффициентов: числовые (коэффициенты — конкретные числа) и параметрические (коэффициенты содержат параметры).

¶Основные методы решения

Линейные уравнения решаются приведением подобных слагаемых и изолированием неизвестного; при a ≠ 0 уравнение ax + b = 0 имеет единственный корень x = −b/a.

Квадратные уравнения решаются дискриминантом: при D = b² − 4ac > 0 уравнение имеет два различных корня, при D = 0 — один корень кратности два, при D < 0 — корней над вещественными числами нет. Формула корней: x = (−b ± √D) / (2a).

Уравнения высших степеней решаются методом вынесения общего множителя, разложения на множители, методом замены переменной, с помощью теорем Виета. Для уравнений пятой степени и выше в общем виде алгебраическое решение формулами не существует — это доказано Абели и в полной мере обосновано Галуа (теорема о неразрешимости уравнений пятой степени в радикалах).

Трансцендентные уравнения обычно решаются аналитически (приведение к алгебраическим) или численно — методом деления отрезка пополам, методом Ньютона (касательных), итерационными методами.

Системы уравнений решаются методом подстановки, методом сложения (вычитания), методом Гаусса (приведения к треугольному виду), для нелинейных систем — методом Курами.

¶Связь с другими разделами математики

Уравнения тесно связаны с функциями: корни уравнения f(x) = 0 — это абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью абсцисс. В анализе уравнения возникают при решении задач о вычислении производной (уравнение касательной), нахождении экстремумов функции, решении дифференциальных уравнений — уравнений, содержащих производные неизвестной функции.

Понятие уравнения обобщается в теории множеств (уравнения с множествами), в логике (логические уравнения) и в теории чисел (диофантовы уравнения — алгебраические уравнения, требующие целочисленных решений; последняя теорема Ферма является утверждением о несовместимости уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ при n > 2).

¶Применение

Уравнения используются практически во всех областях науки и техники: в физике (уравнения Ньютона, Максвелла, Шрёдингера), химии (уравнения химических реакций), экономике (модели равновесия), инженерии (расчёт конструкций), компьютерных науках (решение систем линейных алгебраических уравнений лежит в основе компьютерной графики и машинного обучения). В российской школьной программе алгебраические уравнения изучаются с 7 класса, а методы решения квадратных уравнений закрепляются в курсе алгебры 8–9 классов.

¶История

Понятие уравнения развивалось на протяжении тысячелетий. Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) решали линейные и простейшие квадратные уравнения методом подбора. Китайский математический трактат «Чжаньцзю» (I век н. э.) содержал систематическое изложение методов решения линейных систем. Персидский учёный аль-Хорезми (IX век) в трактате «Об исчислении аль-джабр и аль-мукабала» дал систематическое изложение методов решения линейных и квадратных уравнений; от названия трактата произошло слово «алгебра». Термин «уравнение» (лат. aequatio) ввёл в употребление в XVI веке Франсуа Виет, обозначивший неизвестные буквами и разработавший символическую запись уравнений.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа»
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Алгебра»
• Новиков А. К., Степанов А. Д. «Курс алгебры»
• Гмурман В. Е. «Учебник по элементарной математике»
• Большая математическая энциклопедия, том 3