Уравнение Юнга¶

Уравнение Юнга — это фундаментальное соотношение в физике поверхностных явлений, описывающее условие равновесия капли жидкости на твёрдой поверхности. Уравнение связывает краевой угол смачивания с поверхностными натяжениями на трёх границах раздела фаз: твёрдое тело — жидкость, твёрдое тело — газ (или другая жидкость) и жидкость — газ. Оно лежит в основе теории смачивания, капиллярных явлений и многих технологических процессов, от нанесения покрытий до микрофлюидики.

¶История

Уравнение было впервые сформулировано английским физиком Томасом Юнгом (1773–1829) в его работе «Очерк о сцеплении жидкостей», опубликованной в 1805 году в журнале Philosophical Transactions of the Royal Society. Юнг, известный также своими исследованиями в области оптики (принцип Юнга, опыт Юнга) и механики (модуль Юнга), предложил рассматривать смачивание как результат баланса сил поверхностного натяжения, действующих вдоль линии контакта трёх фаз. В 1806 году французский математик Пьер-Симон Лаплас дополнил теорию, выведя уравнение для капиллярного давления (уравнение Лапласа), что вместе с уравнением Юнга составило основу классической капиллярности.

¶Формулировка

Уравнение Юнга записывается в виде:

\[ \gamma_{SG} = \gamma_{SL} + \gamma_{LG} \cos \theta \]

где:

• \(\gamma_{SG}\) — поверхностное натяжение на границе твёрдое тело — газ (или пар);
• \(\gamma_{SL}\) — поверхностное натяжение на границе твёрдое тело — жидкость;
• \(\gamma_{LG}\) — поверхностное натяжение на границе жидкость — газ (или пар);
• \(\theta\) — краевой угол смачивания (угол Юнга), измеряемый со стороны жидкости.

Уравнение выводится из условия равновесия сил, действующих на единицу длины линии трёхфазного контакта (так называемой линии смачивания). Векторная сумма поверхностных натяжений вдоль этой линии равна нулю, что приводит к указанному соотношению.

¶Краевой угол

Краевой угол \(\theta\) является ключевой характеристикой смачивания:

• Если \(\theta < 90^\circ\), жидкость хорошо смачивает поверхность (гидрофильная поверхность).
• Если \(\theta > 90^\circ\), смачивание плохое (гидрофобная поверхность).
• При \(\theta = 0^\circ\) наблюдается полное смачивание (жидкость растекается по поверхности).
• При \(\theta = 180^\circ\) — полное несмачивание (капля имеет форму шара).

¶Физический смысл

Уравнение Юнга отражает термодинамическое равновесие системы. Оно предполагает, что поверхность твёрдого тела является идеально гладкой, химически однородной, не деформируется под действием капли, а жидкость и газ находятся в равновесии. В реальных условиях на смачивание влияют шероховатость, гетерогенность поверхности, адсорбция примесей и другие факторы, что приводит к отклонениям от идеального поведения.

¶Модификации и обобщения

¶Уравнение Юнга — Дюпре

Для описания работы адгезии (энергии, необходимой для отделения жидкости от поверхности) используется соотношение, объединяющее уравнение Юнга с уравнением Дюпре:

\[ W_{SL} = \gamma_{LG} (1 + \cos \theta) \]

где \(W_{SL}\) — работа адгезии на границе твёрдое тело — жидкость. Это уравнение позволяет оценить адгезионные свойства поверхности по измеренному краевому углу.

¶Уравнение Юнга — Лапласа

В капиллярных системах, где жидкость находится в узких каналах, уравнение Юнга дополняется уравнением Лапласа, связывающим кривизну поверхности жидкости с капиллярным давлением. Совместное применение этих уравнений позволяет описывать подъём жидкости в капиллярах, форму менисков и капиллярное впитывание.

¶Учёт шероховатости: модели Венцеля и Касси

Для реальных шероховатых поверхностей прямое применение уравнения Юнга даёт неверные результаты. Разработаны две основные модели:

• Модель Венцеля (1936): предполагает, что жидкость полностью заполняет неровности поверхности. Тогда эффективный краевой угол \(\theta^*\) связан с идеальным углом Юнга \(\theta\) через коэффициент шероховатости \(r\) (отношение реальной площади поверхности к проекционной):

\[ \cos \theta^* = r \cos \theta \]

• Модель Касси — Бакстера (1944): описывает случай, когда под каплей образуются воздушные карманы (гетерогенное смачивание). Уравнение имеет вид:

\[ \cos \theta^* = f_1 \cos \theta_1 + f_2 \cos \theta_2 \] где \(f_1\) и \(f_2\) — доли площади поверхности, занятые твёрдой фазой и воздухом, а \(\theta_1\) и \(\theta_2\) — соответствующие краевые углы (для воздуха \(\theta_2 = 180^\circ\)).

¶Применение

Уравнение Юнга и его модификации широко используются в различных областях науки и техники:

• Материаловедение и нанотехнологии: оценка смачиваемости покрытий, создание супергидрофобных и супергидрофильных поверхностей (например, для самоочищающихся стекол, антиобледенительных покрытий).
• Микрофлюидика: проектирование микроканалов, управление движением капель, лаборатории на чипе.
• Нефтегазовая отрасль: изучение процессов вытеснения нефти из пористых сред, оценка эффективности поверхностно-активных веществ (ПАВ).
• Биология и медицина: исследование смачивания биологических тканей, разработка имплантатов и контактных линз, анализ клеточной адгезии.
• Химическая технология: процессы нанесения покрытий, печати, флотации, пропитки тканей.

¶Ограничения

Уравнение Юнга не учитывает ряд факторов, существенных в реальных системах:

• Шероховатость и химическая неоднородность поверхности.
• Деформация твёрдого тела под действием капиллярных сил (например, для мягких материалов).
• Динамические эффекты (например, при растекании капли).
• Влияние электрических полей (электросмачивание), температуры, давления.
• Наличие адсорбированных слоёв на поверхности.

Для преодоления этих ограничений разработаны более сложные модели, включающие численные методы и молекулярную динамику.

¶Интересные факты

• Уравнение Юнга является частным случаем более общего условия равновесия трёхфазного контакта, известного как условие Неймана (для жидких границ раздела).
• В 2015 году группа учёных из Массачусетского технологического института (MIT) экспериментально подтвердила, что уравнение Юнга выполняется с высокой точностью даже для наноразмерных капель (диаметром менее 10 нм), что ранее вызывало сомнения.
• Томас Юнг сформулировал уравнение за 60 лет до того, как были введены современные представления о поверхностном натяжении как о свободной энергии поверхности.

¶Источники

• Young, T. (1805). An Essay on the Cohesion of Fluids. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
• de Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
• Adamson, A. W., & Gast, A. P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6th ed.). Wiley.
• Israelachvili, J. N. (2011). Intermolecular and Surface Forces (3rd ed.). Academic Press.