Владимир Игоревич Арнольд

Владимир Игоревич Арнольд (12 июня 1937, Одесса — 3 июня 2010, Париж) — советский и российский математик, автор фундаментальных работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей, классической механики и теории динамических систем. Академик РАН (1990, член-корреспондент с 1984), иностранный член Национальной академии наук США (1983), Лондонского королевского общества (1988) и Французской академии наук (1995). Лауреат Ленинской премии (1965) и премии Крафорда (1982, совместно с Луи Ниренбергом). Один из создателей современной теории катастроф и теории особенностей гладких отображений.

Биография

Ранние годы и образование

Владимир Арнольд родился в Одессе в семье математика Игоря Владимировича Арнольда (1900—1948) и искусствоведа Нины Александровны Арнольд (урождённой Исакович). Отец был известным специалистом по теории чисел, автором учебников по математическому анализу. В 1941 году семья эвакуировалась в Уфу, а после войны переехала в Москву.

В 1954 году Арнольд поступил на механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Уже на первом курсе он начал посещать семинар Андрея Николаевича Колмогорова, который стал его научным руководителем. В 1959 году Арнольд окончил университет с отличием и поступил в аспирантуру.

Научная карьера

В 1961 году Арнольд защитил кандидатскую диссертацию на тему «Об отображениях окружности на себя», в которой решил проблему устойчивости динамических систем, поставленную Колмогоровым. В 1963 году в возрасте 26 лет он защитил докторскую диссертацию. В 1965 году за цикл работ по теории динамических систем (совместно с А. Н. Колмогоровым) Арнольд был удостоен Ленинской премии.

С 1961 года Арнольд работал на механико-математическом факультете МГУ, с 1965 года — профессор. В 1968 году он подписал «письмо 99» в защиту арестованного диссидента Александра Есенина-Вольпина, что привело к временному охлаждению отношений с руководством университета. В 1970-х годах Арнольд активно участвовал в математическом просвещении, читал лекции для школьников и студентов, был одним из основателей Всесоюзной олимпиады школьников по математике.

В 1986 году Арнольд перешёл в Математический институт имени В. А. Стеклова РАН, где возглавил отдел теории динамических систем. В 1990-х годах он много работал за рубежом, в том числе в Университете Париж-Дофин и в Университете Пьера и Марии Кюри (Париж). В 1993 году Арнольд стал одним из основателей Независимого московского университета.

Последние годы

В 2000-х годах Арнольд продолжал активную научную и педагогическую деятельность. Он был главным редактором журналов «Успехи математических наук» и «Функциональный анализ и его приложения». В 2008 году подписал открытое письмо Президенту России Дмитрию Медведеву в защиту арестованного учёного Валентина Данилова. Владимир Арнольд скончался 3 июня 2010 года в Париже от острого панкреатита. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.

Научные достижения

Теория динамических систем

В 1961 году Арнольд доказал теорему об устойчивости решений гамильтоновых систем, известную как теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера (КАМ-теория). Эта теорема описывает, при каких условиях малые возмущения интегрируемой гамильтоновой системы не разрушают инвариантные торы, что объясняет устойчивость движения планет в Солнечной системе. Совместно с Колмогоровым и Юргеном Мозером Арнольд заложил основы современной теории динамических систем.

Теория особенностей

В 1960-х годах Арнольд начал систематическое изучение особенностей гладких отображений. Он разработал классификацию простых особенностей, известную как классификация Арнольда (типы A_k, D_k, E_6, E_7, E_8). Эта классификация нашла применение в теории катастроф, физике, биологии и лингвистике. Арнольд также ввёл понятие «ласточкина хвоста» — одной из базовых особенностей, описывающей поведение световых лучей в оптике.

Топология

Арнольд внёс значительный вклад в топологию, в частности в теорию узлов и теорию кос. В 1974 году он доказал теорему Арнольда о невозможности непрерывного вложения проективной плоскости в трёхмерное пространство без самопересечений. Он также предложил инвариант кос, известный как инвариант Арнольда, который используется для различения кос и узлов.

Алгебраическая геометрия

В 1970-х годах Арнольд разработал теорию критических точек функций на комплексных многообразиях. Он ввёл понятие «исчезающих циклов» и доказал, что число критических точек функции на комплексном торе не может быть меньше 2n+1, где n — размерность тора (гипотеза Арнольда). Эта работа связала алгебраическую геометрию с симплектической топологией.

Математическая физика

Арнольд применил методы теории особенностей к задачам классической механики. В 1978 году он опубликовал книгу «Математические методы классической механики», которая стала классическим учебником. В этой книге он изложил геометрический подход к механике, включая теорию Пуассоновых скобок, симплектическую геометрию и теорию интегрируемых систем.

Педагогическая деятельность

Арнольд был одним из самых влиятельных математических педагогов своего времени. Он читал лекции в МГУ, Независимом московском университете, а также в ведущих университетах мира (Гарвард, Кембридж, Париж). Его лекции отличались ясностью, глубиной и оригинальностью изложения. Арнольд написал более 20 учебников и монографий, многие из которых переведены на иностранные языки.

Среди его учеников — более 50 кандидатов и докторов наук, включая таких известных математиков, как Юлий Ильяшенко, Александр Кириллов, Сергей Новиков, Максим Концевич (лауреат премии Филдса 1998 года).

Критика и полемика

Арнольд известен своей критикой формализма в математическом образовании. Он выступал против чрезмерной абстракции в школьных и вузовских программах, считая, что математика должна основываться на наглядных примерах и задачах, а не на аксиоматике. В 1990-х годах он опубликовал несколько статей, в которых критиковал реформы математического образования в России и Франции.

Арнольд также вёл полемику с некоторыми западными математиками, в частности с Николя Бурбаки (группой французских математиков), чей аксиоматический подход он считал оторванным от реальных задач. Эта полемика отражала более широкий спор между «конструктивной» и «абстрактной» математикой.

Признание и награды

• Ленинская премия (1965) — за цикл работ по теории динамических систем.
• Премия Крафорда (1982, совместно с Луи Ниренбергом) — за работы по теории особенностей.
• Премия имени Н. И. Лобачевского (1992) — за выдающийся вклад в геометрию.
• Премия Вольфа (2001) — за фундаментальный вклад в математику.
• Премия Шао (2008) — за работы по теории динамических систем и теории особенностей.
• Медаль «За заслуги перед Отечеством» II степени (2007) — за выдающийся вклад в развитие науки.

Арнольд является почётным доктором многих университетов, включая Оксфордский, Кембриджский, Парижский и Гарвардский.

Наследие

Именем Арнольда названы:

• Теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера (КАМ-теория).
• Классификация особенностей Арнольда (A_k, D_k, E_6, E_7, E_8).
• Инвариант Арнольда в теории кос.
• Гипотеза Арнольда о числе критических точек.
• Уравнение Арнольда в гидродинамике (описывает движение идеальной жидкости).

В 2011 году в Москве была учреждена премия имени В. И. Арнольда для молодых математиков. В 2013 году его имя присвоено одной из малых планет (астероид 10031 Арнольд).

Основные труды

• «Математические методы классической механики» (1974, 5-е издание — 2003).
• «Теория катастроф» (1983, 3-е издание — 1990).
• «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (1971, 10-е издание — 2008).
• «Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (1978, 4-е издание — 2002).
• «Особенности гладких отображений» (совместно с С. М. Гусейн-Заде и А. Н. Варченко, 1982, 2-е издание — 1991).
• «Топологические методы в гидродинамике» (1998, совместно с Б. А. Кессеном).

Источники

• Арнольд В. И. «Воспоминания о прошлом». — М.: МЦНМО, 2010.
• Табачников С. Л. «Владимир Игоревич Арнольд (1937—2010)» // Успехи математических наук, 2010, том 65, № 5.
• Ильяшенко Ю. С. «Владимир Игоревич Арнольд: жизнь и творчество» // Математическое просвещение, 2011, серия 3, выпуск 15.
• «Владимир Игоревич Арнольд» (некролог) // Вестник РАН, 2010, том 80, № 9.
• Материалы сайта «Математический институт имени В. А. Стеклова РАН» (раздел «Памяти В. И. Арнольда»).