Вписанный угол в геометрии¶

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность, то есть являются её хордами. Вписанный угол относится к классу углов, связанных с окружностью, наряду с центральным углом, углом между касательной и хордой и углом между двумя секущими. Основное свойство вписанного угла состоит в том, что его величина равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и, следовательно, половине градусной меры этой дуги.

¶Определение и основные понятия

Пусть на окружности с центром в точке O выбраны три точки: A, B и C, причём точки A и C являются концами дуги, а точка B лежит на окружности и не совпадает с A и C. Тогда угол ABC называется вписанным, если его вершина B находится на окружности, а лучи BA и BC пересекают окружность в точках A и C соответственно. Говорят, что такой угол опирается на дугу AC, не содержащую точку B.

С каждым вписанным углом связано понятие стягивающей его дуги. Если угол опирается на дугу, не содержащую его вершину, то именно эта дуга и определяет величину угла. Важно различать дугу, на которую угол опирается, и дугу, расположенную с той же стороны, что и вершина: для вычислений используется первая из них.

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами. Между центральным и вписанным углами, опирающимися на одну и ту же дугу, существует прямая количественная связь, составляющая содержание основной теоремы о вписанном угле.

¶Теорема о вписанном угле

Формулировка теоремы: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Поскольку градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги, теорему часто формулируют иначе: вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство опирается на рассмотрение трёх случаев взаимного расположения центра окружности и вписанного угла:

центр окружности лежит на одной из сторон угла;
центр лежит внутри угла;
центр лежит вне угла.

В первом случае треугольник, образованный вершиной угла, центром и одним из концов дуги, является равнобедренным, так как две его стороны — радиусы. Внешний угол при центре равен сумме двух равных внутренних углов, откуда и следует, что вписанный угол вдвое меньше центрального. Остальные случаи сводятся к первому проведением вспомогательного луча.

¶Следствия из теоремы

Из основной теоремы вытекает ряд важных следствий, широко применяемых при решении задач:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой и равен 90°. Это утверждение известно как теорема Фалеса.
Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.
Если два вписанных угла опираются на дополнительные дуги одной окружности, их сумма равна 180°.
Вписанный угол, опирающийся на дугу больше полуокружности, тупой; на дугу меньше полуокружности — острый.

Теорема Фалеса исторически считается одним из первых доказанных геометрических утверждений и приписывается древнегреческому мыслителю Фалесу Милетскому (VI век до н. э.).

¶Связанные углы и отрезки

Вписанный угол тесно связан с другими конфигурациями, возникающими при пересечении прямых с окружностью.

Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, заключённой между сторонами угла, то есть измеряется так же, как вписанный угол, опирающийся на эту дугу.

Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями. Угол между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности, равен полуразности большей и меньшей дуг, высекаемых секущими.

С вписанными углами связано и понятие вписанного четырёхугольника. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны по 180°. Это свойство прямо следует из теоремы о вписанном угле: противоположные углы четырёхугольника опираются на дополнительные дуги.

¶Применение

Свойства вписанного угла используются в школьном курсе планиметрии как базовый инструмент доказательства и вычислений. На них опираются:

доказательство теоремы синусов и вывод формулы радиуса описанной окружности;
решение задач на нахождение углов и дуг в окружности;
построение касательных и решение задач на построение циркулем и линейкой;
доказательство признаков вписанного и описанного четырёхугольников;
вывод соотношений в тригонометрии, включая формулы приведения и значения тригонометрических функций для углов 30°, 45°, 60°.

В прикладных областях — геодезии, астрономии, навигации, архитектуре — теорема о вписанном угле лежит в основе методов измерения углов и построения круговых сооружений, а также используется при расчётах, связанных с дугами и хордами.

¶Значение в истории математики

Учение об углах, связанных с окружностью, восходит к античной геометрии. Систематическое изложение этих результатов дано в «Началах» Евклида (III век до н. э.), где теорема о вписанном угле фигурирует в третьей книге. В дальнейшем свойства вписанных углов вошли в классические курсы элементарной геометрии и сохранили роль фундаментальных положений планиметрии. В российской школьной традиции теорема о вписанном угле изучается в курсе геометрии основной школы и служит опорой для последующего изучения тригонометрии и стереометрии.

Источники: «Начала» Евклида; учебники геометрии для средней школы; справочники по элементарной математике; энциклопедические словари по математике.