Теорема Фалеса: формулировка и доказательство¶

Теорема Фалеса — классическое утверждение геометрии о пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. В школьном курсе планиметрии теорема формулируется следующим образом: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

¶Формулировка

Наиболее распространённая формулировка теоремы Фалеса (в редакции для равных отрезков) звучит так:

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

В более общем виде (иногда называемом обобщённой теоремой Фалеса) утверждение формулируется через пропорциональность: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Иными словами, если прямые \(AA_1, BB_1, CC_1\) параллельны и пересекают стороны угла, то выполняется соотношение: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}. \]

Частный случай, когда отрезки на одной стороне равны (то есть \(AB = BC\)), даёт равенство соответствующих отрезков на другой стороне (\(A_1B_1 = B_1C_1\)).

¶Доказательство

Существует несколько способов доказательства теоремы Фалеса. Рассмотрим классическое доказательство для случая равных отрезков.

Дано: угол с вершиной \(O\), на одной стороне отложены равные отрезки \(OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3\). Через точки \(A_1, A_2, A_3\) проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла в точках \(B_1, B_2, B_3\) соответственно.

Доказать: \(OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3\).

Доказательство:

1. Проведём через точку \(B_1\) прямую, параллельную первой стороне угла (то есть параллельную \(OA_3\)). Обозначим точки её пересечения с прямыми \(A_2B_2\) и \(A_3B_3\) как \(C_2\) и \(C_3\).
2. Полученный четырёхугольник \(A_1A_2C_2B_1\) является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны (по построению и по условию). Следовательно, \(A_1A_2 = B_1C_2\).
3. Аналогично, четырёхугольник \(A_2A_3C_3B_2\) — параллелограмм, поэтому \(A_2A_3 = B_2C_3\).
4. По условию \(A_1A_2 = A_2A_3\), значит \(B_1C_2 = B_2C_3\).
5. Рассмотрим треугольники \(B_1B_2C_2\) и \(B_2B_3C_3\). Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам): \(B_1C_2 = B_2C_3\) (доказано выше), углы при вершинах \(C_2\) и \(C_3\) равны как соответственные при параллельных прямых, углы при вершинах \(B_2\) — как вертикальные.
6. Из равенства треугольников следует, что \(B_1B_2 = B_2B_3\).

Теорема доказана.

Доказательство обобщённой теоремы (для случая произвольных отрезков) обычно проводится аналогично, но с использованием подобия треугольников, а не их равенства.

¶История и авторство

Теорема названа в честь древнегреческого математика и философа Фалеса Милетского (ок. 640 — ок. 546 гг. до н. э.), одного из семи мудрецов Древней Греции. Согласно античным источникам, Фалес первым сформулировал и доказал это утверждение. Однако исторические свидетельства не позволяют точно установить, в каком виде теорема была известна самому Фалесу: вероятно, он знал её частный случай для равных отрезков. Обобщённая формулировка в терминах пропорциональности появилась значительно позже, в трудах математиков Нового времени.

Существует также легенда, согласно которой Фалес использовал эту теорему для измерения высоты египетских пирамид, сравнивая длину тени пирамиды с длиной тени от шеста. Однако эта история не имеет надёжного документального подтверждения и относится скорее к области преданий.

¶Применение

Теорема Фалеса и её обобщение лежат в основе многих геометрических построений и доказательств:

• Деление отрезка на равные части. С помощью циркуля и линейки отрезок можно разделить на \(n\) равных частей, откладывая на вспомогательном луче равные отрезки и соединяя концы параллельными прямыми.
• Построение пропорциональных отрезков. Обобщённая теорема позволяет строить отрезки, длины которых относятся как заданные числа.
• Доказательство свойств средней линии треугольника и трапеции. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине — это прямое следствие теоремы Фалеса.
• Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике (теорема о биссектрисе, свойства медиан) также опирается на обобщённую теорему Фалеса.

В более широком контексте теорема Фалеса является частным случаем более общего утверждения о параллельном проектировании и сохраняет пропорции при аффинных преобразованиях плоскости.

¶Интересные факты

• В некоторых странах (например, в Германии) теоремой Фалеса называют другое утверждение: о том, что угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Это связано с различиями в исторической традиции преподавания геометрии.
• Теорема Фалеса является одной из немногих теорем, которая изучается в школе практически без изменений вот уже более двух тысячелетий.
• Обратная теорема Фалеса также верна: если прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то эти прямые параллельны.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. «Геометрия. 7–9 классы» — учебник для общеобразовательных организаций.
• Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 классы» — учебник для общеобразовательных учреждений.
• Киселёв А. П. «Элементарная геометрия» — классический учебник по планиметрии.
• Энциклопедия элементарной математики, книга IV «Геометрия» (под ред. Александрова П. С.).