Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия — это статистический показатель, характеризующий разброс значений случайной величины относительно её выборочного среднего (среднего арифметического) в конкретной выборке данных. В отличие от генеральной дисперсии, которая описывает всю совокупность, выборочная дисперсия оценивает степень изменчивости признака на основе ограниченного набора наблюдений. Является одной из основных мер вариации в математической статистике и теории вероятностей.

Определение и формула

Выборочная дисперсия (обозначается как \( s^2 \) или \( \hat{\sigma}^2 \)) для выборки объёмом \( n \), состоящей из значений \( x_1, x_2, \dots, x_n \), вычисляется по формуле:

\[ s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

где \( \bar{x} \) — выборочное среднее, равное \( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \).

Данная формула представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений каждого наблюдения от среднего. Однако в статистической практике чаще используется исправленная выборочная дисперсия (несмещённая оценка генеральной дисперсии), которая имеет знаменатель \( n-1 \):

\[ s^2_{n-1} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

Разница между этими двумя формулами связана со свойством несмещённости оценки.

Свойства выборочной дисперсии

Неотрицательность

Выборочная дисперсия всегда является неотрицательным числом. Она равна нулю только в том случае, если все значения выборки одинаковы (то есть разброс отсутствует).

Размерность

Дисперсия выражается в квадратных единицах измерения исходного признака. Например, если данные измеряются в метрах, дисперсия будет выражаться в квадратных метрах. Для удобства интерпретации часто используют квадратный корень из дисперсии — выборочное стандартное отклонение (\( s \)).

Смещённость и несмещённость

Оценка дисперсии по формуле со знаменателем \( n \) является смещённой: в среднем она систематически занижает истинное значение генеральной дисперсии. Исправленная оценка со знаменателем \( n-1 \) является несмещённой, то есть её математическое ожидание равно генеральной дисперсии. Это свойство делает её предпочтительной при оценивании параметров генеральной совокупности по выборке.

Аддитивность для независимых выборок

Если имеются две независимые выборки, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Это свойство широко используется при анализе дисперсионных комплексов.

Виды выборочной дисперсии

Простая выборочная дисперсия

Вычисляется по приведённым выше формулам для негруппированных данных.

Взвешенная выборочная дисперсия

Применяется, когда данные сгруппированы по интервалам или имеют частоты. Формула имеет вид:

\[ s^2 = \frac{1}{\sum f_i} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 \]

где \( f_i \) — частоты соответствующих значений или середин интервалов.

Межгрупповая и внутригрупповая дисперсия

При анализе совокупности, разделённой на группы, выделяют:

• Внутригрупповую дисперсию — характеризует разброс значений внутри каждой группы;
• Межгрупповую дисперсию — отражает разброс групповых средних относительно общего среднего.

Общая выборочная дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий (правило сложения дисперсий).

Методы вычисления

Прямой метод

Непосредственное вычисление по формуле: нахождение среднего, расчёт отклонений, их возведение в квадрат, суммирование и деление на \( n \) или \( n-1 \).

Метод отсчёта от условного нуля

Используется для упрощения расчётов при большом объёме данных или при работе с интервальными рядами. Формула преобразуется к виду:

\[ s^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 \]

где \( \overline{x^2} = \frac{1}{n} \sum x_i^2 \). Этот метод позволяет избежать вычисления каждого отклонения отдельно.

Метод моментов

В теоретической статистике выборочная дисперсия является вторым центральным выборочным моментом.

Применение

Описательная статистика

Выборочная дисперсия используется для количественного описания разброса данных в выборке. Вместе с выборочным средним, медианой и модой она составляет базовый набор описательных статистик.

Проверка статистических гипотез

Дисперсия является ключевым параметром в критериях:

• t-критерий Стьюдента — для сравнения средних двух выборок;
• F-критерий Фишера — для сравнения дисперсий двух выборок;
• Дисперсионный анализ (ANOVA) — для сравнения средних нескольких групп.

Оценка точности измерений

В метрологии и экспериментальной физике выборочная дисперсия характеризует случайную погрешность измерений. Чем меньше дисперсия, тем выше воспроизводимость результатов.

Управление качеством

В производственных процессах выборочная дисперсия используется для построения контрольных карт (например, карты средних и размахов) и оценки стабильности технологического процесса.

Эконометрика и финансы

В финансовом анализе дисперсия доходности актива является мерой риска (волатильности). В регрессионном анализе остаточная дисперсия характеризует качество подгонки модели.

Пример расчёта

Пусть имеется выборка роста (в см) пяти человек: 170, 175, 180, 165, 185.

1. Выборочное среднее: \( \bar{x} = (170+175+180+165+185)/5 = 175 \) см.
2. Отклонения: -5, 0, 5, -10, 10.
3. Квадраты отклонений: 25, 0, 25, 100, 100.
4. Сумма квадратов: 250.
5. Смещённая дисперсия: \( s^2 = 250/5 = 50 \) см².
6. Исправленная дисперсия: \( s^2_{n-1} = 250/4 = 62,5 \) см².
7. Стандартное отклонение: \( s = \sqrt{62,5} \approx 7,91 \) см.

Ограничения и критика

• Чувствительность к выбросам: выборочная дисперсия сильно зависит от экстремальных значений, так как отклонения возводятся в квадрат. Одно аномальное наблюдение может существенно исказить оценку разброса.
• Неинтуитивная размерность: квадратные единицы измерения затрудняют интерпретацию, особенно в прикладных областях.
• Зависимость от объёма выборки: при малых объёмах выборки (\( n < 30 \)) оценка дисперсии может быть нестабильной. Для малых выборок предпочтительнее использовать исправленную дисперсию и учитывать распределение Стьюдента.
• Неприменимость для порядковых и номинальных данных: дисперсия имеет смысл только для количественных признаков, измеренных в интервальной или относительной шкале.

Альтернативные меры разброса

В ситуациях, когда выборочная дисперсия неприменима или неудобна, используются:

• Размах — разность между максимальным и минимальным значением;
• Межквартильный размах — разность между третьим и первым квартилями;
• Среднее абсолютное отклонение — среднее арифметическое модулей отклонений;
• Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему, выраженное в процентах.

Связь с другими статистическими понятиями

Выборочная дисперсия является частным случаем выборочного момента второго порядка. Она тесно связана с ковариацией (для двух переменных) и корреляцией (через стандартизацию). В теории оценивания выборочная дисперсия служит основой для построения доверительных интервалов для генеральной дисперсии с использованием распределения \( \chi^2 \) (хи-квадрат).

Источники

• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2003.
• Орлов А. И. Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006.
• Kendall M. G., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. — London: Griffin, 1977.