Закон смертности Гомпертца

Закон смертности Гомпертца (также закон Гомпертца — Мейкема) — эмпирическая закономерность, описывающая экспоненциальный рост смертности человека с возрастом, начиная с определённого периода (обычно после 30—40 лет). Сформулирован британским математиком и актуарием Бенджамином Гомпертцем в 1825 году. Является одним из фундаментальных положений демографии, актуарной математики и биологии старения.

История открытия

Бенджамин Гомпертц, работая в страховой компании, анализировал таблицы смертности, составленные для населения Англии и Уэльса. В 1825 году он опубликовал работу «О природе функции, выражающей закон смертности человека…», в которой впервые математически описал зависимость смертности от возраста. Гомпертц заметил, что после достижения зрелого возраста вероятность смерти возрастает в геометрической прогрессии с каждым годом жизни. В 1860 году английский статистик Уильям Мейкем дополнил модель, введя постоянную составляющую, не зависящую от возраста, что позволило точнее описывать смертность в молодых возрастах и от внешних причин.

Математическая формулировка

В классическом виде закон Гомпертца выражается формулой:

\[ \mu(x) = A \cdot e^{Bx} \]

где:

• \(\mu(x)\) — интенсивность смертности (force of mortality) в возрасте \(x\);
• \(A\) — базовый уровень смертности (параметр, связанный с начальной уязвимостью);
• \(B\) — параметр скорости старения (темп экспоненциального роста);
• \(e\) — основание натурального логарифма.

Модификация Мейкема добавляет константу \(C\), не зависящую от возраста:

\[ \mu(x) = A \cdot e^{Bx} + C \]

Здесь \(C\) отражает смертность от внешних причин (несчастные случаи, инфекции), которая примерно одинакова для всех возрастов.

На практике закон часто записывают в логарифмической форме:

\[ \ln \mu(x) = \ln A + Bx \]

что делает его линейной функцией от возраста.

Параметры для человека

Типичные значения параметров для современных развитых стран:

• \(A \approx 10^{-4}\) — \(10^{-5}\) (1/год);
• \(B \approx 0,08\) — \(0,12\) (1/год);
• \(C \approx 10^{-4}\) (1/год).

Это означает, что каждые 8—10 лет смертность удваивается (так называемый «период удвоения смертности»).

Эмпирические подтверждения и ограничения

Подтверждения

• Закон хорошо описывает смертность человека в возрасте от 30 до 85—90 лет.
• Аналогичная экспоненциальная зависимость обнаружена у многих млекопитающих, насекомых (дрозофилы) и даже у некоторых одноклеточных организмов.
• В страховой математике закон Гомпертца используется для расчёта страховых премий и резервов по страхованию жизни.

Ограничения

• В младенческом и детском возрасте смертность подчиняется другим закономерностям (высокая смертность в первый год жизни, затем резкое снижение).
• После 90—100 лет экспоненциальный рост замедляется — наблюдается так называемое «плато смертности» (феномен, описанный в работах Дж. Вопеля и других демографов). В этих возрастах смертность растёт медленнее, чем предсказывает закон Гомпертца.
• Закон не учитывает различия в смертности между полами, социальными группами и популяциями, хотя параметры \(A\) и \(B\) могут различаться.
• Внешние катастрофы, войны, эпидемии могут временно нарушать экспоненциальную зависимость.

Биологическая интерпретация

С биологической точки зрения закон Гомпертца отражает накопление повреждений в организме с возрастом. Экспоненциальный рост смертности объясняется тем, что старение — это процесс, при котором вероятность отказа каждой системы организма увеличивается со временем, а отказ одной системы повышает нагрузку на другие. Существует несколько теорий, объясняющих механизм:

• Теория накопления мутаций: с возрастом накапливаются соматические мутации, нарушающие работу клеток.
• Теория свободных радикалов: окислительный стресс повреждает ДНК, белки и липиды.
• Теория теломер: укорочение теломер при делении клеток ограничивает их репликативный потенциал.
• Теория антагонистической плейотропии: гены, полезные в молодости, могут быть вредны в старости.

Ни одна из этих теорий не является общепризнанной, но все они предсказывают экспоненциальный рост смертности.

Применение

Актуарная математика

Закон Гомпертца — основа для построения таблиц смертности, используемых страховыми компаниями для расчёта тарифов по страхованию жизни, пенсионных схем и аннуитетов.

Демография

Модель позволяет прогнозировать численность населения, оценивать продолжительность жизни и анализировать влияние факторов окружающей среды на смертность.

Геронтология

Закон используется для оценки эффективности вмешательств, направленных на замедление старения. Если параметр \(B\) уменьшается, это означает, что скорость старения снижается.

Эволюционная биология

Закон Гомпертца помогает сравнивать стратегии старения у разных видов. Например, у голых землекопов смертность практически не растёт с возрастом, что делает их моделью для изучения пренебрежимого старения.

Критика и альтернативные модели

Несмотря на широкое признание, закон Гомпертца не является универсальным. Основные возражения:

• Плато смертности в очень старших возрастах не укладывается в экспоненту. Для его описания предложены модели с логарифмическим или степенным замедлением роста (например, модель Вейбулла).
• Гетерогенность популяции: люди с разной генетической предрасположенностью умирают в разном возрасте, что может искажать форму кривой смертности для всей популяции.
• Влияние медицинских достижений: снижение смертности от сердечно-сосудистых заболеваний и рака в XX веке изменило форму кривой, особенно в старших возрастах.

Альтернативные модели включают:

• Логистическая модель (модель Перла — Рида) — учитывает насыщение смертности.
• Модель Гомпертца — Мейкема с плато — вводит дополнительный параметр для описания замедления роста.
• Модель стресса и повреждений (теория надёжности) — рассматривает организм как систему с параллельными и последовательными элементами.

Интересные факты

• Бенджамин Гомпертц был членом Лондонского королевского общества, а его работа по закону смертности была опубликована в Philosophical Transactions.
• Параметр \(B\) у человека примерно одинаков для разных популяций, что указывает на универсальность механизмов старения.
• У некоторых видов (например, у гидры) смертность не растёт с возрастом, что ставит под сомнение неизбежность старения.
• В 2020 году, во время пандемии COVID-19, закон Гомпертца использовался для оценки возрастной зависимости летальности от коронавирусной инфекции.

Источники

• Gompertz B. On the Nature of the Function Expressing the Law of Human Mortality // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. — 1825. — Vol. 115. — P. 513—583.
• Makeham W. M. On the Law of Mortality and the Construction of Annuity Tables // Journal of the Institute of Actuaries. — 1860. — Vol. 8. — P. 301—310.
• Vaupel J. W. et al. Biodemographic Trajectories of Longevity // Science. — 1998. — Vol. 280, No. 5365. — P. 855—860.
• Gavrilov L. A., Gavrilova N. S. The Reliability Theory of Aging and Longevity // Journal of Theoretical Biology. — 2001. — Vol. 213, No. 4. — P. 527—545.
• Olshansky S. J., Carnes B. A. Ever Since Gompertz // Demography. — 1997. — Vol. 34, No. 1. — P. 1—15.