Абелева группа

Абелева группа — это группа, в которой групповая операция является коммутативной, то есть для любых двух элементов группы результат операции не зависит от порядка, в котором они берутся. Абелевы группы являются фундаментальным объектом изучения в абстрактной алгебре, теории групп и смежных разделах математики. Название происходит от имени норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, который внёс значительный вклад в теорию алгебраических уравнений, хотя сам термин «абелева группа» был введён позже.

Определение и основные свойства

Группа \(\langle G, * \rangle\) называется абелевой (или коммутативной), если для всех \(a, b \in G\) выполняется равенство:

\[ a b = b a. \]

В абелевых группах групповую операцию часто обозначают символом \(+\) (аддитивная запись), а нейтральный элемент — как \(0\). В этом случае обратный элемент к \(a\) обозначается \(-a\). В мультипликативной записи операцию обозначают точкой или опускают, нейтральный элемент — как \(1\), а обратный — как \(a^{-1}\).

Из определения вытекают следующие свойства:

• Коммутативность: порядок выполнения операции не влияет на результат.
• Единственность нейтрального элемента: в группе существует ровно один элемент, который при операции с любым другим даёт этот другой.
• Единственность обратного элемента: для каждого элемента существует ровно один обратный.
• Закон сокращения: если \(a + b = a + c\), то \(b = c\) (и аналогично для мультипликативной записи).
• Подгруппы абелевой группы также абелевы: любая подгруппа абелевой группы является абелевой.
• Факторгруппы абелевой группы абелевы: факторгруппа по любой нормальной подгруппе (в абелевой группе все подгруппы нормальны) также абелева.
• Прямое произведение абелевых групп абелево: декартово произведение с покомпонентной операцией даёт абелеву группу.

Примеры

Конечные абелевы группы

• Циклические группы: \(\mathbb{Z}_n\) (группа вычетов по модулю \(n\) с операцией сложения) является абелевой. Например, \(\mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\}\).
• Прямые суммы циклических групп: например, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3\) (изоморфна \(\mathbb{Z}_6\)).
• Группа кватернионов \(Q_8\) не является абелевой, так как \(i j = k\), но \(j i = -k\).

Бесконечные абелевы группы

• Группа целых чисел \(\mathbb{Z}\) с операцией сложения.
• Группа рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) с операцией сложения.
• Группа ненулевых рациональных чисел \(\mathbb{Q}^*\) с операцией умножения.
• Группа вещественных чисел \(\mathbb{R}\) с операцией сложения.
• Группа комплексных чисел \(\mathbb{C}\) с операцией сложения.
• Группа корней из единицы (например, все комплексные числа \(z\) такие, что \(z^n = 1\) для некоторого натурального \(n\)).

Геометрические и топологические примеры

• Группа поворотов окружности \(SO(2)\) — абелева, так как повороты на плоскости коммутируют.
• Группа параллельных переносов в евклидовом пространстве — абелева.
• Группа гомологий топологического пространства — абелева группа.

История

Термин «абелева группа» ввёл в 1870 году французский математик Камиль Жордан в своей работе «Traité des substitutions et des équations algébriques». Он назвал так группы, в которых выполняется закон коммутативности, в честь Нильса Хенрика Абеля, который в 1824 году доказал, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, используя свойства коммутативных групп перестановок корней. Однако сам Абель не использовал термин «группа» в современном смысле; строгое определение группы было дано позже, в 1854 году, Артуром Кэли.

В XIX веке теория абелевых групп развивалась в рамках теории групп подстановок и теории чисел. В 1879 году Леопольд Кронекер сформулировал теорему о структуре конечных абелевых групп, а в 1880-х годах Фердинанд Георг Фробениус и Леопольд Кронекер заложили основы теории конечных абелевых групп. В XX веке теория абелевых групп стала самостоятельной областью, особенно благодаря работам Эмми Нётер, которая в 1920-х годах связала абелевы группы с теорией модулей и гомологической алгеброй.

Классификация

Конечные абелевы группы

Основная теорема о конечных абелевых группах (теорема Кронекера) утверждает, что любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме циклических групп порядков, являющихся степенями простых чисел. Причём такое разложение единственно с точностью до порядка слагаемых. Формально:

\[ G \cong \mathbb{Z}_{p_1^{k_1}} \oplus \mathbb{Z}_{p_2^{k_2}} \oplus \dots \oplus \mathbb{Z}_{p_n^{k_n}}, \]

где \(p_i\) — простые числа (не обязательно различные), а \(k_i\) — натуральные числа.

Например, группа порядка 12 может быть изоморфна \(\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_3\) (циклическая) или \(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3\) (нециклическая). Всего существует 2 неизоморфные абелевы группы порядка 12.

Бесконечные абелевы группы

Классификация бесконечных абелевых групп значительно сложнее. Выделяют несколько классов:

• Свободные абелевы группы: изоморфны прямой сумме копий \(\mathbb{Z}\). Имеют базис, как векторные пространства.
• Периодические абелевы группы: каждый элемент имеет конечный порядок. Пример: \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\).
• Делимые абелевы группы: для любого элемента \(g\) и натурального \(n\) существует элемент \(h\) такой, что \(n h = g\). Пример: \(\mathbb{Q}\).
• Конечно порождённые абелевы группы: имеют конечное множество образующих. Теорема о структуре конечно порождённых абелевых групп утверждает, что любая такая группа изоморфна прямой сумме свободной абелевой группы и конечной абелевой группы.

Применение

Абелевы группы играют центральную роль во многих разделах математики:

• Теория чисел: группа классов вычетов, группа единиц кольца вычетов, группа точек на эллиптической кривой (абелева группа, но не обязательно конечная).
• Алгебраическая топология: группы гомологий и когомологий являются абелевыми группами, что позволяет использовать методы гомологической алгебры.
• Теория представлений: представления конечных групп часто сводятся к изучению абелевых групп через характеры.
• Криптография: эллиптические кривые (абелевы группы) используются в криптографии с открытым ключом (например, ECDSA).
• Физика: группа трансляций в кристаллографии является абелевой; группа симметрий пространства-времени (группа Пуанкаре) неабелева, но её подгруппы (например, группа вращений) могут быть абелевыми.

Интересные факты

• Все группы простого порядка являются абелевыми и циклическими.
• Существуют неабелевы группы, в которых любая собственная подгруппа абелева (например, группа кватернионов \(Q_8\)).
• Понятие абелевой группы обобщается до понятия модуля над кольцом: абелева группа — это модуль над кольцом целых чисел \(\mathbb{Z}\).
• В 1902 году Уильям Бернсайд поставил вопрос о том, может ли неабелева группа быть порождена двумя элементами, каждый из которых имеет конечный порядок. Ответ положителен: например, группа диэдра \(D_n\) порождается двумя отражениями.

Источники

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Джекобсон Н. Теория колец. — М.: ИЛ, 1947.
• Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967.