Леопольд Кронекер

Леопольд Кронекер (нем. Leopold Kronecker; 7 декабря 1823, Лигниц, Пруссия — 29 декабря 1891, Берлин, Германская империя) — немецкий математик, профессор Берлинского университета, член Прусской академии наук. Известен фундаментальными работами в области алгебры, теории чисел и теории эллиптических функций. Кронекер является одним из ключевых представителей берлинской математической школы, известный своей конструктивистской позицией в философии математики, выразившейся в знаменитом афоризме: «Бог создал натуральные числа, всё остальное — дело рук человеческих».

Биография

Ранние годы и образование

Леопольд Кронекер родился в состоятельной еврейской семье в городе Лигниц (ныне Легница, Польша). Его отец, Исаак Кронекер, был преуспевающим коммерсантом, что позволило семье обеспечить сыну домашнее образование. Уже в детстве Леопольд проявил выдающиеся математические способности: в возрасте 12 лет он самостоятельно изучил основы алгебры и геометрии по учебникам, а в 14 лет поступил в гимназию в Лигнице, где его учителем был известный математик Эрнст Куммер. Куммер, заметив талант юноши, стал его наставником и впоследствии поддерживал его научные интересы.

В 1841 году Кронекер поступил в Берлинский университет, где слушал лекции Петера Густава Лежёна Дирихле и Якоба Штейнера. Позже он продолжил обучение в Боннском университете, а затем в Бреслау (ныне Вроцлав). В 1845 году он защитил докторскую диссертацию в Берлинском университете на тему «О комплексных единицах в теории чисел» (лат. De unitatibus complexis), в которой исследовал арифметику круговых полей.

Карьера

После защиты диссертации Кронекер не сразу занял академическую должность. В 1848 году он женился на своей кузине Фанни Кронекер, после чего управлял семейным имением и банковским делом в Лигнице. В этот период он продолжал заниматься математикой как частный учёный, публикуя работы в научных журналах. В 1855 году, после смерти отца, Кронекер переехал в Берлин, где сблизился с Карлом Вейерштрассом и другими математиками.

В 1861 году Кронекер был избран действительным членом Прусской академии наук. В 1868 году он стал профессором Берлинского университета, сменив на этой должности своего учителя Куммера. На протяжении последующих двух десятилетий он вёл активную преподавательскую и научную деятельность, воспитав ряд учеников, среди которых были Георг Кантор, Фердинанд Фробениус и Курт Хензель.

Личная жизнь и последние годы

Кронекер был известен своим консервативным характером и резкой критикой новых идей в математике, особенно теории множеств Георга Кантора. Он жёстко выступал против актуальной бесконечности, что привело к длительному конфликту с Кантором. В последние годы жизни Кронекер страдал от проблем со здоровьем, но продолжал работать до самой смерти. Он скончался 29 декабря 1891 года в Берлине от сердечного приступа.

Научные достижения

Теория чисел

Кронекер внёс значительный вклад в алгебраическую теорию чисел. Он развил теорию круговых полей, обобщив результаты Гаусса и Куммера. В 1853 году он опубликовал работу «О решении уравнения деления круга» (нем. Über die Auflösung der Kreisteilungsgleichung), в которой показал, что корни из единицы могут быть выражены через радикалы. Кронекер также сформулировал так называемую «теорему Кронекера — Вебера», которая утверждает, что любое абелево расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле. Эта теорема стала одним из центральных результатов теории чисел.

Алгебра

В области алгебры Кронекер ввёл понятие «характера» (в теории групп) и развил теорию билинейных и квадратичных форм. Он также предложил аксиоматический подход к определению целых алгебраических чисел, что позже было развито в теории идеалов. Кронекеру принадлежит важная работа «Основы арифметики» (нем. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen), опубликованная в 1882 году, в которой он изложил свою концепцию «арифметизации» алгебры.

Эллиптические функции

Кронекер внёс вклад в теорию эллиптических функций, в частности, в изучение их связи с модулярными формами. Он исследовал так называемые «эллиптические функции Кронекера» (или «функции Кронекера — Вебера»), которые играют роль в теории чисел и алгебраической геометрии. Его работа «О комплексном умножении эллиптических функций» (нем. Über die complexe Multiplication der elliptischen Functionen) стала основой для дальнейших исследований в этой области.

Философия математики

Кронекер был одним из первых представителей конструктивизма в математике. Он настаивал на том, что математические объекты должны быть конструктивно определимы через натуральные числа. Его позиция выражалась в знаменитом афоризме: «Бог создал натуральные числа, всё остальное — дело рук человеческих». Кронекер критиковал работы Георга Кантора по теории множеств, считая их «мистическими» и «выходящими за пределы математики». Он также выступал против использования актуальной бесконечности, предпочитая потенциальную бесконечность.

Критика

Кронекер подвергался критике за свой консерватизм и догматизм. Его конфликт с Георгом Кантором привёл к тому, что Кантор испытывал серьёзные профессиональные и личные трудности, включая депрессию. Некоторые историки науки считают, что критика Кронекера задержала развитие теории множеств на несколько десятилетий. Однако современные математики признают, что его конструктивистский подход, хотя и был чрезмерно жёстким, стимулировал развитие формальных оснований математики.

Память

Имя Кронекера увековечено в математических терминах: символ Кронекера (δᵢⱼ), теорема Кронекера — Капелли, произведение Кронекера (матричное произведение), лемма Кронекера. В его честь назван кратер на Луне (Кронекер) и астероид (2566 Кронекер). В 1923 году, к столетию со дня рождения учёного, была выпущена серия почтовых марок в Германии.

Источники

• Biographisch-literarisches Handwörterbuch zur Geschichte der exacten Wissenschaften (1863)
• Leopold Kronecker: Werke (5 томов, 1895–1931)
• Dieudonné, J. (1978). Abrégé d'histoire des mathématiques
• Ebbinghaus, H.-D. et al. (1991). Numbers
• Klein, F. (1926). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert