Аксиома регулярности

Аксиома регулярности (также аксиома фундирования, аксиома основания) — одна из аксиом теории множеств Цермело — Френкеля (ZF), утверждающая, что любое непустое множество содержит элемент, не пересекающийся с исходным множеством. Формально: ∀x (x ≠ ∅ → ∃y ∈ x (y ∩ x = ∅)). Аксиома была введена Джоном фон Нейманом в 1925 году и независимо Абрахамом Френкелем в 1922 году как средство устранения парадоксов, связанных с неограниченным пониманием множеств, и для запрета бесконечно убывающих цепочек вложенности (например, множеств, содержащих сами себя).

Формулировка

В формальной записи аксиома регулярности выглядит следующим образом:

∀x (x ≠ ∅ → ∃y (y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅))

Здесь переменная x пробегает по всем множествам, y — по элементам x. Условие y ∩ x = ∅ означает, что y не содержит ни одного элемента, который одновременно принадлежал бы x. Иными словами, в любом непустом множестве существует элемент, который не имеет общих элементов с самим этим множеством.

История

Предпосылки появления

В начале XX века в теории множеств были обнаружены парадоксы, связанные с неограниченным принципом свёртывания (например, парадокс Рассела, парадокс Бурали-Форти). Эти парадоксы показали, что не всякое «свойство» задаёт множество. Для устранения противоречий были предложены аксиоматические системы, ограничивающие способы построения множеств. Аксиома регулярности стала одним из таких ограничений, направленных на запрет «необоснованных» множеств.

Вклад фон Неймана и Френкеля

Джон фон Нейман в 1925 году в работе «Eine Axiomatisierung der Mengenlehre» предложил аксиому, которая позже была названа аксиомой регулярности. Он показал, что если принять эту аксиому, то можно доказать, что не существует множества, которое содержало бы себя в качестве элемента (x ∉ x). Абрахам Френкель в 1922 году независимо сформулировал аналогичную аксиому, но в более слабой форме. В современной системе ZF аксиома регулярности является стандартной, хотя её принятие не является обязательным для всех разделов математики.

Роль в аксиоматике Цермело — Френкеля

Аксиома регулярности входит в число аксиом ZF, наряду с аксиомами объёмности, пары, суммы, степени, бесконечности, выделения, подстановки и выбора. Она не является независимой от остальных аксиом ZF в том смысле, что её можно вывести из некоторых других аксиом при определённых предположениях, но в стандартной формулировке она принимается как отдельная аксиома.

Следствия

Запрет на принадлежность множества самому себе

Из аксиомы регулярности непосредственно следует, что ни одно множество не может содержать себя в качестве элемента. Действительно, если бы существовало множество x такое, что x ∈ x, то рассмотрим множество {x}. Оно непусто, и единственным его элементом является x. По аксиоме регулярности, x ∩ {x} = ∅. Но x ∈ x, следовательно, x ∈ x ∩ {x}, что противоречит пустоте пересечения. Таким образом, x ∉ x для любого множества x.

Отсутствие бесконечно убывающих цепочек

Аксиома регулярности запрещает существование бесконечно убывающих последовательностей вложенных множеств вида: x₁ ∋ x₂ ∋ x₃ ∋ … . Если бы такая последовательность существовала, то множество {x₁, x₂, x₃, …} было бы непустым, но каждый его элемент содержал бы следующий элемент последовательности, что противоречило бы аксиоме. Это свойство эквивалентно аксиоме регулярности в рамках ZF (при условии аксиомы выбора).

Кумулятивная иерархия

Аксиома регулярности позволяет построить все множества в виде кумулятивной иерархии, основанной на ординалах. Определяется последовательность V_α по трансфинитной рекурсии:

• V₀ = ∅
• V_{α+1} = P(V_α) (множество всех подмножеств V_α)
• V_λ = ∪_{α<λ} V_α для предельных ординалов λ

Тогда аксиома регулярности эквивалентна утверждению, что любое множество принадлежит некоторому V_α. Это даёт наглядное представление о том, что все множества «строятся» из пустого множества последовательным применением операции взятия подмножеств.

Критика и альтернативы

Необязательность аксиомы

Аксиома регулярности не является необходимой для большинства разделов математики. Многие теоремы, например, в анализе, алгебре или топологии, могут быть доказаны без её использования. Она важна главным образом для метаматематических исследований, таких как теория моделей и доказательство непротиворечивости.

Теории множеств без аксиомы регулярности

Существуют аксиоматические системы, в которых аксиома регулярности не принимается. Например, теория множеств Цермело — Френкеля без аксиомы регулярности (ZF⁻) допускает существование множеств, содержащих сами себя, или бесконечно убывающих цепочек. Такие системы используются в некоторых областях, например, в теории нестандартных множеств или в теоретико-множественной семантике языков программирования.

Антифундированные множества

В 1980-х годах Питер Акцель ввёл понятие антифундированных множеств, которые допускают бесконечно убывающие цепочки. Аксиома антифундирования (AFA) утверждает, что любое «графовое представление» (система уравнений) имеет единственное решение. Эта аксиома используется в семантике языков программирования, теории процессов и в некоторых разделах логики.

Применение в математике

Теория ординалов

Аксиома регулярности используется для доказательства того, что каждый ординал является множеством, не содержащим себя, и что отношение ∈ на ординалах является строгим частичным порядком. Без неё некоторые свойства ординалов, такие как транзитивность, могут быть нарушены.

Доказательство непротиворечивости

Аксиома регулярности играет ключевую роль в доказательстве относительной непротиворечивости теории множеств. Например, с её помощью можно показать, что если ZF непротиворечива, то ZF + аксиома регулярности также непротиворечива (построение модели в виде кумулятивной иерархии).

Теория моделей

В теории моделей аксиома регулярности используется для построения моделей, в которых все множества «фундированы», то есть имеют минимальный элемент по отношению ∈. Это упрощает изучение свойств моделей, таких как элементарные подмодели и теорема Лёвенгейма — Сколема.

Интересные факты

• Аксиома регулярности иногда называется «аксиомой основания» (Axiom of Foundation), что отражает её роль в обеспечении «фундамента» для иерархии множеств.
• В некоторых учебниках по теории множеств аксиома регулярности формулируется как «всякое непустое множество имеет ∈-минимальный элемент», что эквивалентно исходной формулировке.
• В 1920-х годах существовали споры о необходимости аксиомы регулярности. Некоторые математики, например, Л. Э. Я. Брауэр, считали её излишней, так как парадоксы можно избежать другими способами.
• Аксиома регулярности не является независимой от аксиомы выбора в том смысле, что в ZF без аксиомы выбора она не эквивалентна отсутствию бесконечно убывающих цепочек. Для эквивалентности требуется аксиома выбора.

Источники

• Джон фон Нейман. «Eine Axiomatisierung der Mengenlehre». Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1925.
• Абрахам Френкель. «Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre». Mathematische Annalen, 1922.
• К. Гёдель. «Совместимость аксиомы выбора и обобщённой континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств». Princeton University Press, 1940.
• П. Акцель. «Non-well-founded sets». CSLI Lecture Notes, 1988.
• Т. Йех. «Теория множеств». Springer, 2003.