Абрахам Френкель

Абрахам Френкель (нем. Abraham Fraenkel, полное имя Адольф Абрахам Френкель, 17 февраля 1891, Мюнхен — 15 октября 1965, Иерусалим) — немецкий и израильский математик, один из основоположников современной аксиоматической теории множеств. Наиболее известен как соавтор аксиоматической системы Цермело — Френкеля (ZF), которая стала стандартным фундаментом для большинства разделов современной математики. Внёс также значительный вклад в алгебру, теорию чисел и историю математики.

Биография

Ранние годы и образование

Абрахам Френкель родился в Мюнхене в ортодоксальной еврейской семье. Его отец, Леопольд Френкель, был торговцем, а мать, Элизабет Френкель, происходила из раввинской династии. С раннего возраста проявил выдающиеся способности к математике. В 1909 году поступил в Мюнхенский университет, где изучал математику и физику. Среди его учителей были такие известные математики, как Альфред Прингсхайм и Фердинанд фон Линдеман. В 1914 году под руководством Курта Хензеля защитил докторскую диссертацию по теории p-адических чисел, посвящённую «Теории кратных делителей».

Академическая карьера в Германии

После защиты диссертации Френкель работал в Марбургском университете, где в 1916 году получил звание приват-доцента. В 1919 году он стал экстраординарным профессором, а в 1922 году — ординарным профессором математики в Кильском университете, став одним из самых молодых профессоров в Германии того времени. В Киле он проработал до 1929 года, занимаясь активной научной и педагогической деятельностью.

Эмиграция в Палестину

В 1929 году Френкель принял приглашение занять должность профессора математики в Еврейском университете в Иерусалиме. Это решение было обусловлено как его сионистскими убеждениями, так и растущей угрозой со стороны национал-социализма в Германии. В 1933 году, после прихода к власти нацистов, он окончательно переехал в Палестину (на тот момент — подмандатная территория Великобритании). В Еврейском университете он стал одним из основателей математического факультета и сыграл ключевую роль в становлении математического образования в Израиле. В 1950—1951 годах занимал пост ректора университета.

Последние годы

Френкель вышел на пенсию в 1959 году, но продолжал активную научную и редакторскую работу. Он был членом Израильской академии наук и гуманитарных наук, а также ряда других научных обществ. Скончался в Иерусалиме в 1965 году.

Научный вклад

Аксиоматическая теория множеств

Основной вклад Френкеля в математику связан с аксиоматизацией теории множеств. В начале XX века в теории множеств были обнаружены парадоксы (например, парадокс Рассела), что поставило под угрозу её логическую непротиворечивость. В 1908 году немецкий математик Эрнст Цермело предложил первую аксиоматическую систему, которая должна была избежать этих парадоксов. Однако система Цермело имела ряд недостатков, в частности, она не позволяла корректно вывести некоторые важные теоремы.

Френкель в 1922 году независимо от других математиков (в частности, от Торальфа Скулема) предложил усовершенствование системы Цермело. Он добавил к ней аксиому подстановки (аксиому замены), которая значительно расширила возможности теории множеств. Эта аксиома утверждает, что если задано некоторое функциональное соответствие между элементами множества, то образ этого множества также является множеством. В результате была сформулирована система аксиом, получившая название ZF (Цермело — Френкель). Впоследствии к ней была добавлена аксиома выбора, и система стала называться ZFC (Цермело — Френкель с аксиомой выбора). Система ZFC является стандартным фундаментом современной математики.

Алгебра и теория чисел

Помимо теории множеств, Френкель внёс вклад в алгебру и теорию чисел. Он занимался:

• Теорией p-адических чисел: Его докторская диссертация была посвящена этой теме, и он продолжал работать в этой области, в частности, изучал p-адические поля и их расширения.
• Теорией колец и идеалов: Френкель исследовал структуру колец, особенно в контексте коммутативной алгебры.
• Теорией чисел: Он работал над проблемой Варинга и другими вопросами аддитивной теории чисел.

История математики

Френкель также был известным историком математики. Он написал несколько книг и статей по истории математики, в том числе биографии выдающихся математиков (например, Георга Кантора). Его книга «Lebensgeschichte der Mathematik» (История жизни математики) стала классическим трудом в этой области.

Основные труды

• «Einleitung in die Mengenlehre» (Введение в теорию множеств, 1919) — один из первых учебников по аксиоматической теории множеств.
• «Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre» (Десять лекций по основаниям теории множеств, 1927) — расширенное изложение его взглядов на аксиоматику.
• «Abstract Set Theory» (Абстрактная теория множеств, 1953) — один из наиболее полных учебников по теории множеств на английском языке.
• «Lebensgeschichte der Mathematik» (История жизни математики, 1967) — фундаментальный труд по истории математики, написанный совместно с Иегошуа Бар-Хиллелем.

Признание и наследие

Научные заслуги Абрахама Френкеля получили широкое признание. Он был избран членом Израильской академии наук и гуманитарных наук, а также почётным членом ряда математических обществ. В его честь названа премия, присуждаемая Израильским математическим союзом за выдающиеся достижения в области математики. Система аксиом ZF/ZFC, носящая его имя, остаётся краеугольным камнем современной математической логики и теории множеств. Его работы по истории математики до сих пор используются исследователями.

Критика и дискуссии

Несмотря на огромный вклад, некоторые аспекты работы Френкеля подвергались критике. В частности, его аксиома подстановки (замены) была признана не всеми математиками как необходимая; некоторые считали её излишне сильной и предпочитали более слабые системы. Однако в конечном итоге именно система ZFC стала стандартом. Также велись дискуссии по поводу его интерпретации парадоксов теории множеств и его подхода к основаниям математики, который был более формалистическим, чем интуиционистский.

Интересные факты

• Френкель был глубоко религиозным человеком и соблюдал еврейские традиции. Он часто подчёркивал, что его научная работа не противоречит его религиозным убеждениям.
• В 1930-х годах он активно помогал еврейским учёным, бежавшим из нацистской Германии, найти работу в Палестине.
• Помимо математики, Френкель увлекался философией и историей, что нашло отражение в его трудах.

Источники

• Fraenkel, A. A. (1953). Abstract Set Theory. North-Holland Publishing Company.
• Fraenkel, A. A., Bar-Hillel, Y. (1967). Lebensgeschichte der Mathematik. Springer.
• Zermelo, E., Fraenkel, A. A. (1929). Die Grundlagen der Mengenlehre. Springer.
• Moore, G. H. (1982). Zermelo’s Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence. Springer.