Аксиоматика Цермело — Френкеля

Аксиоматика Цермело — Френкеля (ZF, от Zermelo–Fraenkel) — это наиболее распространённая система аксиом теории множеств, лежащая в основании современной математики. Она представляет собой формальный язык, на котором можно описать все основные математические объекты (числа, функции, отношения, пространства) и доказать их свойства, избегая парадоксов, таких как парадокс Рассела. Система ZF, дополненная аксиомой выбора (ZFC), является стандартным фундаментом для большинства разделов математики.

История

Предпосылки возникновения

В конце XIX века Георг Кантор создал наивную теорию множеств, в которой множество определялось как «любое собрание определённых, вполне различимых объектов нашего созерцания или мышления». Эта теория позволила добиться значительных успехов в анализе, топологии и алгебре, но вскоре столкнулась с внутренними противоречиями. В 1901 году Бертран Рассел обнаружил парадокс, связанный с множеством всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: если такое множество существует, то оно должно одновременно содержать и не содержать себя. Этот парадокс, а также другие (парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора) показали, что наивная теория множеств логически несостоятельна.

Работы Цермело

В 1904 году Эрнст Цермело предложил первую аксиоматизацию теории множеств, направленную на устранение парадоксов. Его система включала аксиомы объёмности, пустого множества, пары, суммы, степени, выделения, бесконечности и выбора. В 1908 году он опубликовал полный список аксиом, который стал известен как аксиоматика Цермело (Z). Однако эта система имела недостатки: она не позволяла строго определить некоторые важные понятия (например, ординальные числа) и не исключала всех парадоксов.

Вклад Френкеля и других

В 1922 году Абрахам Френкель и независимо от него Торальф Скулем указали на неполноту системы Цермело. В частности, они отметили, что аксиома выделения (Aussonderung) не позволяет строить множества, элементы которых определяются с помощью произвольных свойств, если эти свойства не заданы формулами языка теории множеств. Для исправления этого недостатка Френкель и Скулем предложили заменить аксиому выделения на схему аксиом подстановки (замены). Эта схема, в сочетании с аксиомой основания, также введённой Френкелем, привела к созданию системы ZF (Цермело — Френкеля). Позднее, в 1925 году, Джон фон Нейман уточнил аксиому основания, а в 1930 году Курт Гёдель включил ZF в свою работу по непротиворечивости.

Стандартизация ZFC

Система ZF, дополненная аксиомой выбора (C), получила обозначение ZFC. Аксиома выбора, хотя и была включена Цермело в его первоначальный список, долгое время вызывала споры из-за своего неконструктивного характера. В 1938 году Гёдель доказал, что если ZF непротиворечива, то и ZFC непротиворечива, а в 1963 году Пол Коэн доказал независимость аксиомы выбора от ZF, показав, что существуют модели ZF, в которых аксиома выбора не выполняется. С тех пор ZFC стала общепринятой основой для математики, хотя некоторые математики (например, сторонники конструктивизма) предпочитают работать в ZF без аксиомы выбора.

Аксиомы ZF

Система ZF состоит из восьми аксиом и одной схемы аксиом. Все они формулируются на языке логики первого порядка с бинарным отношением принадлежности (∈). Переменные обозначают множества.

Аксиома объёмности (экстенсиональности)

Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Формально: ∀x∀y (∀z (z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y).

Аксиома пустого множества

Существует множество, не содержащее ни одного элемента. Формально: ∃x ∀y (y ∉ x). Такое множество обозначается ∅.

Аксиома пары

Для любых двух множеств существует множество, содержащее ровно эти два элемента. Формально: ∀x∀y ∃z ∀w (w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y)).

Аксиома объединения (суммы)

Для любого множества существует множество, состоящее из всех элементов его элементов. Формально: ∀x ∃y ∀z (z ∈ y ↔ ∃w (w ∈ x ∧ z ∈ w)).

Аксиома степени (булеана)

Для любого множества существует множество всех его подмножеств. Формально: ∀x ∃y ∀z (z ∈ y ↔ ∀w (w ∈ z → w ∈ x)).

Аксиома бесконечности

Существует множество, содержащее пустое множество и замкнутое относительно операции взятия следующего элемента (x ∪ {x}). Формально: ∃x (∅ ∈ x ∧ ∀y (y ∈ x → y ∪ {y} ∈ x)). Эта аксиома гарантирует существование множества натуральных чисел.

Схема аксиом подстановки (замены)

Для любой формулы φ(x, y) с двумя свободными переменными, если для каждого x существует единственное y, такое что φ(x, y) истинно, то для любого множества A существует множество B, состоящее из всех таких y, для которых x ∈ A. Формально: ∀x ∃!y φ(x, y) → ∀A ∃B ∀y (y ∈ B ↔ ∃x (x ∈ A ∧ φ(x, y))). Эта схема, по сути, позволяет «заменять» элементы одного множества на другие, заданные функциональным отношением.

Аксиома основания (регулярности)

В любом непустом множестве есть элемент, не пересекающийся с этим множеством. Формально: ∀x (x ≠ ∅ → ∃y (y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)). Эта аксиома исключает бесконечно убывающие цепочки принадлежности (например, x ∈ x) и обеспечивает «правильное» строение множеств.

Аксиома выделения (Aussonderung)

Хотя эта аксиома выводится из схемы подстановки, в некоторых версиях ZF её включают отдельно. Для любой формулы φ(x) и любого множества A существует множество B, состоящее из всех элементов A, для которых φ(x) истинно. Формально: ∀A ∃B ∀x (x ∈ B ↔ (x ∈ A ∧ φ(x))).

Аксиома выбора (C)

Аксиома выбора не входит в систему ZF, но часто добавляется к ней, образуя ZFC. Она утверждает, что для любого семейства непустых непересекающихся множеств существует множество, содержащее ровно по одному элементу из каждого множества этого семейства. Существует множество эквивалентных формулировок, например: для любого множества X существует функция выбора, которая каждому непустому подмножеству X ставит в соответствие один из его элементов.

Свойства и значение

Непротиворечивость и независимость

В 1931 году Курт Гёдель доказал свою вторую теорему о неполноте, из которой следует, что непротиворечивость ZF (и ZFC) не может быть доказана средствами самой системы, если она непротиворечива. Тем не менее, большинство математиков считают ZF непротиворечивой, поскольку за более чем сто лет её использования не было обнаружено ни одного противоречия. Кроме того, существуют модели ZF (например, универсум фон Неймана), построенные в рамках более сильных теорий, что даёт косвенное подтверждение её непротиворечивости.

Роль в математике

ZF (и ZFC) служит стандартным языком для формализации почти всей современной математики. В рамках этой системы можно определить натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа, функции, отношения, топологические пространства, меры, группы, кольца, поля и другие объекты. Большинство теорем, доказываемых в учебниках и научных статьях, могут быть (в принципе) переведены на язык ZFC.

Критика и альтернативы

Несмотря на широкое признание, ZF не лишена критики. Некоторые математики (например, сторонники теории категорий) считают, что ZF слишком ограничена для описания современной математики, особенно в области гомотопической теории типов. Другие указывают на то, что аксиома выбора приводит к неконструктивным результатам (например, теорема Банаха — Тарского о разложении шара), что неприемлемо для конструктивистов. Существуют альтернативные системы, такие как теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG), которая позволяет работать с классами, или теория множеств Крипке — Платека (KP), используемая в теории рекурсии.

Интересные факты

• Аксиоматика Цермело — Френкеля является одной из немногих математических теорий, которая не имеет фиксированного набора аксиом: разные авторы могут включать или исключать аксиому выбора, аксиому основания или аксиому выделения.
• В 2010 году была опубликована работа, в которой доказывается, что ZF не может доказать существование недостижимых кардиналов, что делает её «слабой» с точки зрения теории больших кардиналов.
• В рамках ZF можно построить модель, в которой все множества являются наследственно конечными (то есть имеют конечное число элементов, каждый из которых также наследственно конечен). Такая модель называется универсумом наследственно конечных множеств.

Источники

• Zermelo, E. (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I». Mathematische Annalen.
• Fraenkel, A. (1922). «Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre». Mathematische Annalen.
• Skolem, T. (1922). «Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre». Matematikerkongressen i Helsingfors.
• Gödel, K. (1940). «The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory». Princeton University Press.
• Cohen, P. J. (1963). «The Independence of the Continuum Hypothesis». Proceedings of the National Academy of Sciences.
• Jech, T. (2003). «Set Theory». Springer.