Аппроксимация в математике и вычислительной технике¶

Аппроксимация (от лат. approximatio — приближение) — замена сложного объекта более простым, удобным для исследования или вычислений, при этом сохраняющим основные свойства исходного объекта в заданной степени точности. Аппроксимация является одним из фундаментальных методов математики, вычислительной математики и теории алгоритмов; она применяется всюду, где точное представление данных или функций невозможно, нецелесообразно или избыточно.

¶Основные понятия

Пусть дан объект f (функция, кривая, набор данных, сигнал) и класс более простых объектов g из некоторого семейства (многочлены, сплайны, показательные функции). Задача аппроксимации состоит в выборе такого g, чтобы отклонение ‖f − g‖ было минимальным или не превышало заданной величины ε. Сам объект g называется аппроксимацией (приближением) объекта f.

Ключевые характеристики аппроксимации:

• Область определения — множество точек, на котором задано приближение;
• Мера точности — способ измерения ошибки (абсолютная, относительная, среднеквадратическая, равномерная);
• Класс приближающих функций — многочлены, сплайны, тригонометрические ряды, нейронные сети и другие;
• Критерий оптимальности — правило выбора лучшей аппроксимации из допустимых.

¶Виды аппроксимации

¶По типу приближаемого объекта

• Функциональная аппроксимация — приближение функции другой функцией (например, полиномиальная аппроксимация сложной аналитической функции).
• Численная аппроксимация — получение приближённого значения числа или выражения (например, вычисление √2 с заданной точностью).
• Геометрическая аппроксимация — приближение кривых и поверхностей более простыми кривыми (окружностями, отрезками) и поверхностями.
• Статистическая аппроксимация — построение модели по выборке данных (регрессия, аппроксимация кривой по экспериментальным точкам).

¶По характеру приближения

• Равномерная (в норме C) аппроксимация — минимизация максимального отклонения ‖f − g‖∞ = max|f(x) − g(x)|. Теорема Чебышёва утверждает, что лучшая равномерная аппроксимация многочленом степени n характеризуется чередованием знаков ошибки.
• Среднеквадратическая (в норме L²) аппроксимация — минимизация интеграла квадрата отклонения. На практике реализуется методом наименьших квадратов.
• Аппроксимация в среднем — минимизация среднего значения модуля ошибки.

¶Методы аппроксимации

¶Полиномиальная аппроксимация

Наиболее распространённый класс приближений. По теореме Вейерштрасса, любая непрерывная функция на отрезке может быть равномерно приближена многочленом с любой точностью. На практике часто используются многочлены Тейлора (приближение функции рядом Тейлора в окрестности точки) и многочлены наилучшего равномерного приближения (многочлены Чебышёва).

¶Интерполяция

Частный случай аппроксимации, когда приближающая функция совпадает с исходной в конечном наборе точек (узлах интерполяции). Наиболее известные схемы — интерполяция Лагранжа, Ньютона, сплайн-интерполяция.

¶Метод наименьших квадратов

Разработан в России К. Ф. Гауссом и А. А. Марковым в начале XIX века. Состоит в минимизации суммы квадратов отклонений приближения от данных точек. Широко применяется в обработке экспериментальных данных, машинном обучении, сигнальной обработке.

¶Аппроксимация сплайнами

Кусочно-полиномиальная аппроксимация, при которой на каждом участке используется свой многочлен малой степени, а в точках стыка обеспечиваются условия непрерывности и гладкости. Сплайны применяются в компьютерной графике (кривые Безье, B-сплайны), моделировании поверхностей, численном решении дифференциальных уравнений.

¶Тригонометрическая аппроксимация

Приближение периодических функций частичными суммами ряда Фурье. Основана на разложении функции в ряд по системе синусов и косинусов. Находит применение в спектральном анализе, обработке сигналов, решении уравнений математической физики.

¶Оценка качества и сходимость

Качество аппроксимации оценивается величиной ошибки приближения. Для полиномиальной аппроксимации аналитических функций ошибка часто экспоненциально убывает с ростом степени многочлена. Для гладких, но не аналитических функций скорость сходимости зависит от порядка производных. Для разрывных функций (например, при решении задач гидродинамики) стандартные методы дают осцилляции (феномен Гиббса), что привело к развитию методов с ограничителями (limiters) и WENO-схем.

¶Применение

Аппроксимация лежит в основе большинства вычислительных технологий:

• Численный анализ — решение дифференциальных и интегральных уравнений сводится к аппроксимации неизвестных функций;
• Компьютерная графика — хранение и рендеринг кривых и поверхностей через сплайны и полиномиальные patches;
• Машинное обучение — обучение модели есть аппроксимация неизвестной зависимости по обучающей выборке; обобщающая способность модели характеризует качество аппроксимации на новых данных;
• Сжатие данных — JPEG использует аппроксимацию блоков изображения дискретным косинусным преобразованием;
• Инженерные расчёты — замена сложных профилей и нагрузок упрощёнными моделями.

¶История

Идеи аппроксимации восходят к работам Ньютона по интерполяции (1669), Лагранжа (1795) и Гаусса по методу наименьших квадратов (1795, опубликовано в 1809). Систематическую теорию равномерной аппроксимации создал П. Л. Чебышёв в 1850-х годах, определив понятие наилучшего приближения и доказав критерий чередования знаков. Теорема Вейерштрасса (1885) об универсальности полиномиальной аппроксимации стала отправной точкой функционального анализа. В XX веке теория аппроксимации развивалась в работах С. Н. Бернштейна, Д. Джексона, С. М. Никольского, В. Л. Гончара.

¶История

Источники: «Математический энциклопедический словарь» (М.: Советская энциклопедия, 1988); Никольский С. М. «Курс математического анализа»; Тимохов А. Н. «Лекции по вычислительной математике»; Гончар В. Л. «Численный анализ»; Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стиган.