Arithmetica Logarithmica

Arithmetica Logarithmica — это книга по логарифмическим вычислениям, опубликованная английским математиком Генри Бриггсом в 1624 году. Она представляет собой фундаментальный труд, в котором были впервые опубликованы десятичные логарифмы чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 с точностью до 14 знаков. Книга заложила основу для практического использования логарифмов в астрономии, навигации, геодезии и инженерных расчётах на протяжении более чем трёх столетий.

История создания

Предпосылки и работа с Непером

В начале XVII века шотландский математик Джон Непер (John Napier) изобрёл логарифмы, опубликовав в 1614 году труд «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» («Описание удивительной таблицы логарифмов»). Логарифмы Непера были основаны на натуральном основании (число e) и были неудобны для практических вычислений, так как логарифм единицы у него был не равен нулю, а сами таблицы содержали погрешности.

В 1615 году Генри Бриггс, профессор геометрии в Оксфордском университете, посетил Непера в Эдинбурге. Они совместно обсудили возможность создания более удобной системы логарифмов, где логарифм единицы равен нулю, а логарифм десяти — единице. Эта система получила название десятичных логарифмов (или логарифмов Бриггса). Непер согласился с предложением Бриггса, но из-за преклонного возраста и слабого здоровья не смог участвовать в вычислениях. После смерти Непера в 1617 году Бриггс продолжил работу самостоятельно.

Первые публикации

В 1617 году Бриггс опубликовал небольшую работу «Logarithmorum Chilias Prima» («Первая тысяча логарифмов»), содержащую десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000 с точностью до 14 знаков. Этот труд стал предшественником «Arithmetica Logarithmica».

Основная работа над таблицами для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 заняла у Бриггса несколько лет. Он выполнял вычисления вручную, используя метод последовательных извлечений квадратных корней и интерполяции. Промежуток от 20 000 до 90 000 остался незаполненным из-за огромного объёма вычислений; Бриггс планировал завершить его позже, но не успел.

Публикация 1624 года

Книга «Arithmetica Logarithmica» была издана в Лондоне в 1624 году. Полное название на латыни: «Arithmetica Logarithmica sive Logarithmorum Chiliades Triginta, pro numeris naturali serie crescentibus ab unitate ad 20,000 et a 90,000 ad 100,000» («Логарифмическая арифметика, или тридцать тысяч логарифмов для чисел, возрастающих в натуральном порядке от единицы до 20 000 и от 90 000 до 100 000»). Предисловие к книге написал математик и астроном Джон Уильямс (John Williams).

Содержание и структура

Таблицы логарифмов

Основной объём книги занимают таблицы десятичных логарифмов. Каждая страница содержит логарифмы для 100 чисел (по 50 с каждой стороны). Логарифмы приведены с точностью до 14 десятичных знаков, что было исключительно высокой точностью для того времени. Для чисел от 1 до 20 000 таблицы полны, для чисел от 90 000 до 100 000 — также полны. Пропуск чисел от 20 001 до 89 999 был восполнен позднее другими математиками.

Методы вычисления

Бриггс подробно описал в книге методы, которые он использовал для вычисления логарифмов:

• Метод извлечения квадратных корней: логарифм числа вычислялся через последовательное извлечение корней до получения числа, близкого к единице, после чего использовалось разложение в ряд.
• Интерполяция: для нахождения логарифмов промежуточных значений применялась линейная интерполяция.
• Использование разностей: Бриггс ввёл понятие «первых разностей» (разность между логарифмами соседних чисел) и «вторых разностей», что позволяло ускорять вычисления.

Примечания и приложения

В книге также содержатся:

• Таблицы антилогарифмов (чисел по заданному логарифму).
• Таблицы синусов и тангенсов с логарифмическими значениями (для тригонометрических расчётов).
• Примеры использования логарифмов для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней.

Значение и влияние

Научное значение

«Arithmetica Logarithmica» стала первым в истории полным изданием десятичных логарифмов. Она позволила астрономам, мореплавателям и инженерам значительно сократить время на сложные вычисления. Например, умножение многозначных чисел заменялось сложением их логарифмов, что было особенно важно для расчёта орбит планет и навигационных таблиц.

Влияние на последующие работы

• В 1628 году нидерландский математик Адриан Флакк (Adriaan Vlacq) издал дополненную версию таблиц, включив в неё логарифмы для чисел от 20 000 до 90 000, тем самым завершив работу Бриггса. Флакк также исправил некоторые ошибки в оригинальных таблицах.
• Таблицы Бриггса-Флакка переиздавались многократно в XVII–XIX веках и использовались до появления электронных вычислительных машин.
• В России таблицы Бриггса были впервые опубликованы в 1703 году в переводе Леонтия Магницкого в составе «Арифметики» — первого российского учебника математики.

Критика и ограничения

• Основной недостаток таблиц Бриггса — пропуск чисел от 20 001 до 89 999, что делало их неполными для практического использования без дополнительных вычислений.
• Точность в 14 знаков была избыточной для большинства прикладных задач, но позволяла избежать накопления ошибок при многократных вычислениях.
• Некоторые современники Бриггса (например, Иоганн Кеплер) критиковали его за то, что он не опубликовал метод вычисления логарифмов в явном виде, а лишь описал его в общих чертах.

Современное состояние и наследие

Переиздания и цифровые копии

Оригинальные экземпляры «Arithmetica Logarithmica» сохранились в нескольких библиотеках мира, включая Британскую библиотеку и библиотеку Оксфордского университета. В XXI веке книга была оцифрована и доступна в открытом доступе на сайтах проектов по сохранению исторических научных трудов.

Память

• Имя Генри Бриггса носит кратер на Луне (Briggs).
• В честь десятичных логарифмов, введённых Бриггсом, их иногда называют «логарифмами Бриггса».
• В 2024 году, к 400-летию выхода книги, в Великобритании прошли научные конференции и выставки, посвящённые истории логарифмов.

Источники

• Бриггс Г. «Arithmetica Logarithmica» (1624) — оригинальное издание.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича, том 2 (1970).
• Cajori F. «A History of Mathematics» (1894).
• Smith D. E. «History of Mathematics», vol. 2 (1925).
• Энциклопедия «Британника», статья «Henry Briggs».