Биссектриса угла — математическое понятие¶
Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам, то есть образующий с каждой из сторон угла равные углы. Понятие является фундаментальным в планиметрии и находит применение в геометрических построениях, доказательствах и решении задач.
¶Определение и свойства
Пусть угол с вершиной $A$ и сторонами $AB$ и $AC$. Биссектрисой этого угла называется луч $AM$, такой, что $\angle BAM = \angle CAM$. Каждый угол имеет ровно одну внутреннюю биссектрису. Кроме внутренней, для угла можно провести и внешнюю биссектрису — луч, делящий смежный угол пополам; внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла перпендикулярны друг другу.
Основные свойства биссектрисы:
- Теорема о равенстве отношений. Точка биссектрисы треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух других сторон. Если $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$, то $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.
- Свойство равноудалённости. Любая точка биссектрисы равно удалена от сторон угла. Обратно, множество точек, равноудалённых от двух сторон угла, есть пара перпендикулярных прямых — внутренняя и внешняя биссектрисы.
- Теорема о биссектрисе треугольника. Длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне $a$, вычисляется по формуле $l_a = \frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}$, где $b$, $c$ — длины двух других сторон, $\alpha$ — угол между ними.
¶Построение циркулем и линейкой
Биссектриса任意 угла строится классическим способом циркулем и линейкой, известным ещё из «Начал» Евклида:
- С вершины угла проводят дугу, пересекающие обе стороны в точках $M$ и $N$.
- Из $M$ и $N$ с одинаковым радиусом проводят дуги, пересекающиеся в точке $K$ внутри угла.
- Прямая через вершину и точку $K$ является биссектрисой.
Построение опирается на равенство треугольников $AMK$ и $ANK$ по стороне и двум углам.
¶Биссектриса в треугольнике
Три внутренние биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности (инцентре). Инцентр лежит на пересечении биссектрис и является центром окружности, касающейся всех трёх сторон треугольника. Расстояние от инцентра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности, который выражается через площадь $S$ и полупериметр $p$ как $r = \frac{S}{p}$.
Соотношение, связывающее длину биссектрисы с радиусом вписанной окружности: $l_a = \frac{2bc}{b+c}\cos\frac{\alpha}{2}$, что согласуется с формулой, приведённой выше.
¶Внешние биссектрисы
Внешняя биссектриса угла треугольника — луч, делящий смежный с внутренним углом пополам. Две внешние биссектрисы и одна внутренняя пересекаются в точке, являющейся центром одной из трёх вневписанных окружностей треугольника. Таких окружностей три, и каждая касается одной стороны и продолжений двух других.
¶Применение
Биссектрисы используются при решении задач на построение, в доказательстве геометрических теорем, а также в практических задачах — например, при определении кратчайшего пути от точки к прямой с учётом условий отражения. В задаче о нахождении точки, сумма расстояний от которой до двух данных точек минимальна, биссектриса играет вспомогательную роль при построении симметрий.
В аналитической геометрии уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ записывается в виде:
$$\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$
Знак «плюс» соответствует одной из биссектрис, «минус» — другой; они перпендикулярны.
¶Этимология и история
Слово «биссектриса» происходит от латинского bi — «два» и sectio — «разрезание», то есть буквально «две секущие» или «разделяющая пополам». Понятие известно со времён античной геометрии; построение биссектрисы угла описано в «Началах» Евклида (книга I, proposition 9).
¶Интересные факты
- Биссектриса任意 угла является осью симметрии этого угла.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, совпадает с медианой и высотой.
- Точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр) не совпадает с центром описанной окружности, кроме случая равностороннего треугольника.
¶Источники
- Евклид. Начала, книга I.
- Пономарёв Л. И. Геометрия для поступающих в вузы.
- Рабинович И. М. Краткий справочник по элементарной математике.
- Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, приложения.