Частота дискретизации¶

Частота дискретизации — число отсчётов (дискретных значений), снимаемых с непрерывного сигнала за единицу времени; измеряется в герцах (Гц). Вместе с разрядностью (глубиной квантования) определяет качество цифрового представления аналогового сигнала и является одной из ключевых характеристик любых систем цифровой обработки сигналов — аудиотехники, видеокодеков, систем передачи данных, измерительных приборов.

¶Теоретические основы

¶Теорема Котельникова

Математической основой дискретизации является теорема Котельникова (теорема о равномерной дискретизации, в западной литературе — теорема Найквиста — Шеннона), сформулированная Владимиром Котельниковым в 1933 году. Теорема устанавливает: непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть полностью восстановлен по его отсчётам, если частота дискретизации $f_d$ вдвое превышает высшую частотную составляющую сигнала $f_{max}$:

$f_d > 2 f_{max}$

Величина $f_N = f_{max}$ называется предельной (границей) частотой Котельникова, а $2 f_{max}$ — частотой Найквиста. Если условие не выполняется, возникает эффект алиасинга — посторонние низкочастотные компоненты, не существовавшие в исходном сигнале, «накладываются» на полезный спектр и искажают его неустранимым образом.

¶Соотношение с полосой сигнала

Для вещественных сигналов теорема формулируется через полосу $B$: частота дискретизации должна быть не менее $2B$. Для комплексных (апплексных) сигналов, распространённых в телекоммуникации, достаточно $f_d \geq B$, поскольку спектр не симметричен относительно нуля.

¶Практические аспекты выбора

¶Коэффициент сглаживания

На практике частоту дискретизации выбирают с запасом — в 1,5–4 раза выше частоты Найквиста. Причина в том, что фильтры нижних частот, стоящие перед преобразователем «аналог — цифра», имеют не идеальный срез, а плавный спад. Коэффициент сглаживания $k = f_d / (2 f_{max})$ характеризует, насколько запас покрывает переходную полосу фильтра. В студийной цифровой звукозаписи применяется стандарт $k = 2$ (частоты 88,2 или 96 кГц при рабочей полосе до 20–22 кГц), в потребительских форматах — $k \approx 2{,}25$ (44,1 кГц для полосы 20 кГц).

¶Антиалиасинговый фильтр

Перед аналого-цифровым преобразователем устанавливается фильтр нижних частот (антиалиасинговый), подавляющий составляющие выше половины частоты дискретизации. После цифро-аналогового преобразования применяется фильтр сглаживания, удаляющий высокочастотные компоненты, порождённые ступенчатой структурой выходного сигнала.

¶Применение

¶Цифровой звук

В бытовой и студийной звукозаписи закрепились несколько стандартных частот:

Частота 44,1 кГц была выбрана для CD-дисков в начале 1980-х годов: она позволяла использовать существовавшее оборудование цифровой видеозаписи U-matic, где частота дискретизации видеосигнала составляла 3,58 МГц, делилась на 44,1 без остатка. Стандарт 48 кГц принят EBU для европейского вещания и стал базовым в кинематографе и телевидении.

¶Видео и телевидение

В цифровом видео частота дискретизации определяется стандартом компонентного представления. Стандарт ITU-R BT.601 для SDTV использует частоту дискретизации цветности 13,5 МГц для каждого канала Y, Cb, Cr. В HD-форматах (BT.709) применяется 74,25 МГц, в 4K/UHD (BT.2020) — до 594 МГц. Частота кадров (24, 25, 30, 50, 60 кадров в секунду) — отдельный параметр временно́й дискретизации видеосигнала.

¶Измерительная техника и телеметрия

В системах сбора данных частота дискретизации выбирается по характеристикам измеряемого процесса. Для медленных физико-химических процессов достаточно десятков герц, для вибрационного мониторинга — единиц кГц, для акустической эмиссии при контроле сварных соединений — сотен кГц. Многофункциональные измерительные приборы (цифровые осциллографы) имеют частоты дискретизации от единиц до тысяч мегагерц; по теореме Котельникова осциллограф с частотой дискретизации $f_d$ корректно измеряет сигналы со спектром до $f_d/2$.

¶Телекоммуникация

В системах с кодовым разделением каналов и ортогональным частотным мультиплексированием (OFDM) частота дискретизации определяет ширину полосы и число поднесущих. В LTE она составляет 30,72 МГц для полосы 20 МГц, в 5G NR может достигать 491,52 МГц для полосы 100 МГц.

¶Восстановление сигнала

Интерполяция — процесс восстановления непрерывного сигнала из отсчётов. Идеальное восстановление обеспечивает фильтр с прямоугольной АЧХ (фильтр Котельникова), но он не реализуем физически. На практике применяются фильтры с полосой, ограниченной частотой Найквиста, — линейно-фазовые ФНЧ, фильтры с полосой пропускания, алгоритмы синхронной интерполяции.

¶История

Вопрос о соотношении частоты дискретизации и полосы сигнала рассматривался в работах Е. И. Котельникова (1933), Х. Найквиста (1928) и К. Шеннона (1949). В СССР теория дискретизации получила развитие в трудах по теории связи В. А. Котельникова, А. А. Харкевича, Б. Р. Левина. Термин «частота дискретизации» прочно вошёл в русскоязычную техническую литературу с распространением цифровой обработки сигналов в 1970–1980-е годы.

¶Источники

• Котельников В. А. О передаче телеграфных сообщений по радио. — М., 1933.
• Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. — М.: ИЛ, 1963.
• Оппенхем А., Шаффер Р. Методы цифровой обработки сигналов. — М.: Техносфера, 2012.
• Хамминг Р. Кодирование и обработка сигналов. — М.: Мир, 1983.
• ITU-R BT.601-7: Studio encoding parameters of digital television.