Черная дыра Шварцшильда¶

Черная дыра Шварцшильда — это тип черной дыры, описываемый точным решением уравнений общей теории относительности Эйнштейна, полученным Карлом Шварцшильдом в 1916 году. Данное решение описывает гравитационное поле сферически-симметричной, невращающейся и неэлектрически заряженной массы. Черная дыра Шварцшильда является простейшей и наиболее изученной моделью черной дыры, характеризующейся единственным параметром — массой.

¶Основные свойства

¶Горизонт событий

Ключевой особенностью черной дыры Шварцшильда является наличие горизонта событий — сферической границы, за которой гравитационное притяжение становится настолько сильным, что ничто, включая свет, не может покинуть эту область. Радиус горизонта событий, называемый радиусом Шварцшильда (\(R_s\)), определяется исключительно массой объекта и вычисляется по формуле:

\[ R_s = \frac{2GM}{c^2} \]

где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M\) — масса черной дыры, \(c\) — скорость света в вакууме. Для объекта с массой Солнца радиус Шварцшильда составляет около 3 километров, а для Земли — около 9 миллиметров.

¶Сингулярность

В центре черной дыры Шварцшильда находится гравитационная сингулярность — точка, в которой кривизна пространства-времени и плотность массы становятся бесконечными. Согласно классической теории, в этой точке перестают работать законы физики, известные на сегодняшний день. Сингулярность окружена горизонтом событий, который делает её принципиально ненаблюдаемой извне.

¶Отсутствие других параметров

В отличие от более сложных типов черных дыр (например, черных дыр Керра или Рейсснера-Нордстрёма), черная дыра Шварцшильда не имеет вращения (углового момента) и электрического заряда. Таким образом, её состояние полностью описывается массой, что подтверждает теорема «о лысине» (или «об отсутствии волос»), согласно которой черные дыры характеризуются лишь тремя внешне наблюдаемыми параметрами: массой, зарядом и угловым моментом.

¶История открытия

¶Теоретическое предсказание

В 1915 году Альберт Эйнштейн опубликовал общую теорию относительности, которая описывала гравитацию как искривление пространства-времени. Уже в 1916 году немецкий физик и астроном Карл Шварцшильд, служивший в армии Германии во время Первой мировой войны, нашел первое точное решение уравнений Эйнштейна. Он рассматривал гравитационное поле точечной массы и получил метрику, которая позже была названа его именем. Шварцшильд умер в 1916 году от болезни, не дожив до признания своего открытия.

¶Долгий путь к признанию

Долгое время решение Шварцшильда считалось математической абстракцией, не имеющей физического смысла. Многие физики, включая самого Эйнштейна, полагали, что объекты с такой высокой плотностью не могут существовать в природе. В 1939 году американские физики Роберт Оппенгеймер и Хартланд Снайдер показали, что массивные звезды могут коллапсировать в черные дыры, но их работа осталась незамеченной до 1960-х годов.

¶Современное понимание

Термин «черная дыра» был введен американским физиком Джоном Арчибальдом Уилером в 1967 году. К этому времени астрономические наблюдения начали предоставлять косвенные доказательства существования черных дыр, в том числе черных дыр Шварцшильда. В 2019 году проект Event Horizon Telescope (EHT) получил первое прямое изображение тени черной дыры в центре галактики M87, которая, как считается, является вращающейся черной дырой, но её свойства близки к шварцшильдовским.

¶Математическое описание

¶Метрика Шварцшильда

Пространство-время вокруг черной дыры Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда, которая в сферических координатах \((t, r, \theta, \phi)\) имеет вид:

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2 \]

где \(d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2\) — элемент телесного угла. Эта метрика демонстрирует, что при \(r = R_s\) (горизонт событий) компонента \(g_{tt}\) обращается в ноль, а \(g_{rr}\) — в бесконечность, что указывает на сингулярность координат, а не физическую сингулярность.

¶Координатные системы

Метрика Шварцшильда имеет кажущуюся сингулярность на горизонте событий, которая может быть устранена переходом к другим координатам, например, к координатам Эддингтона-Финкельштейна или Крускала-Секереша. Эти системы показывают, что падающий объект пересекает горизонт событий за конечное собственное время, хотя для удаленного наблюдателя этот процесс занимает бесконечно долгое время.

¶Физические эффекты

¶Гравитационное красное смещение

Свет, испускаемый вблизи горизонта событий, испытывает сильное гравитационное красное смещение. Для удаленного наблюдателя частота фотонов уменьшается, а при приближении источника к горизонту событий смещение стремится к бесконечности, делая излучение невидимым.

¶Замедление времени

Вблизи черной дыры Шварцшильда время течет медленнее по сравнению с удаленным наблюдателем. Этот эффект, называемый гравитационным замедлением времени, описывается формулой:

\[ \Delta t_{\text{даль}} = \frac{\Delta t_{\text{близ}}}{\sqrt{1 - \frac{R_s}{r}}} \]

где \(r\) — расстояние до центра черной дыры. На горизонте событий (\(r = R_s\)) замедление становится бесконечным.

¶Орбиты частиц

Вокруг черной дыры Шварцшильда существуют устойчивые круговые орбиты для частиц с массой на расстоянии от \(3R_s\) до бесконечности. На расстоянии \(1.5R_s\) находится последняя устойчивая круговая орбита (ISCO), ниже которой частица неизбежно падает в черную дыру. Для фотонов (безмассовых частиц) существует фотонная сфера на расстоянии \(1.5R_s\), где свет может двигаться по круговой орбите, но эти орбиты неустойчивы.

¶Классификация и примеры

¶По массе

Черные дыры Шварцшильда классифицируются по массе:

• Стеллярные черные дыры — образуются при коллапсе массивных звезд, масса от нескольких до десятков солнечных масс. Пример: Лебедь X-1 (кандидат в черные дыры, масса около 14.8 солнечных масс).
• Сверхмассивные черные дыры — находятся в центрах галактик, масса от миллионов до миллиардов солнечных масс. Пример: Стрелец A* в центре Млечного Пути (масса около 4.3 миллиона солнечных масс, хотя она, вероятно, вращается).
• Первичные черные дыры — гипотетические объекты, которые могли образоваться в ранней Вселенной, масса может быть от планковских значений до астероидных.

¶Реальные примеры

Хотя большинство известных черных дыр, вероятно, вращаются, некоторые кандидаты, такие как черная дыра в двойной системе GRO J1655-40, демонстрируют низкие скорости вращения, что приближает их к модели Шварцшильда. Однако точное определение вращения требует сложных наблюдений, и чисто шварцшильдовские черные дыры в природе, скорее всего, редки.

¶Наблюдательные свидетельства

¶Косвенные методы

Черные дыры Шварцшильда не излучают свет, поэтому их существование доказывается косвенно:

• Движение звезд — наблюдение орбит звезд вокруг невидимого объекта, как в случае со Стрельцом A*.
• Рентгеновское излучение — аккреция вещества на черную дыру приводит к нагреву и излучению в рентгеновском диапазоне.
• Гравитационные волны — слияние черных дыр, зарегистрированное обсерваторией LIGO в 2015 году, подтвердило существование черных дыр звездной массы.

¶Прямое изображение

В 2019 году телескоп Event Horizon Telescope (EHT) получил изображение тени черной дыры в галактике M87. Тень — это область, из которой не выходит свет, и её форма и размер соответствуют предсказаниям для черной дыры Шварцшильда (с учетом вращения). Это стало первым прямым визуальным подтверждением горизонта событий.

¶Критика и ограничения

¶Физическая реализуемость

Модель Шварцшильда предполагает отсутствие вращения, что в реальной Вселенной маловероятно. Большинство астрофизических черных дыр, как считается, обладают значительным угловым моментом из-за вращения родительских звезд или аккреции вещества. Поэтому черные дыры Шварцшильда являются идеализированной моделью, полезной для теоретического анализа, но редко встречающейся в чистом виде.

¶Проблема сингулярности

Сингулярность в центре черной дыры Шварцшильда указывает на неполноту общей теории относительности. Ожидается, что квантовая теория гравитации, такая как теория струн или петлевая квантовая гравитация, сможет описать физику вблизи сингулярности, устранив бесконечности. Однако на сегодняшний день такой теории не существует.

¶Интересные факты

• Радиус Шварцшильда для человека массой 70 кг составляет около 10^{-23} сантиметра, что значительно меньше планковской длины.
• В 1970-х годах Стивен Хокинг показал, что черные дыры Шварцшильда могут испускать излучение (излучение Хокинга) за счет квантовых эффектов, что приводит к их постепенному испарению.
• Метрика Шварцшильда является точным решением, но она не учитывает влияние других тел, что делает её применимой только для изолированных черных дыр.

¶Источники

• Schwarzschild, K. (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften.
• Мизнер, Ч., Торн, К., Уилер, Дж. (1977). "Гравитация". Том 3. Москва: Мир.
• Event Horizon Telescope Collaboration (2019). "First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole". The Astrophysical Journal Letters.
• Хокинг, С. (1975). "Particle Creation by Black Holes". Communications in Mathematical Physics.