Числа Фибоначчи — математическая последовательность¶

Числа Фибоначчи — это последовательность натуральных чисел, в которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Она начинается с нуля и единицы: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее. Последовательность названа в честь итальянского математика Леонардо Пизанского, более известного под прозвищем Фибоначчи (около 1170 — после 1240), который описал её в трактате «Liber Abaci» («Книга об счёте»), опубликованном в 1202 году.

¶История

Леонардо Пизанский, сын таможенного чиновника Гильельмо, сопровождавшего отца в Алжир, познакомился там с арабской математикой, в частности с индийской системой счисления, которая позже получила в Европе название «арабские цифры». В «Liber Abaci» он изложил арифметические методы, применявшиеся на Востоке, и среди прочих задач привёл задачу о размножении кроликов: если пару кроликов поместить в загон, и каждая новая пара будет давать потомство начиная с двухмесячного возраста, то сколько пар будет через год? Решение этой задачи и даёт последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Сам термин «числа Фибоначчи» появился лишь в XIX веке — его ввёл французский математик Эдуард Лукас, автор известной задачи о башнях Ганоны. При этом сам Фибоначчи не считал последовательность особо важной: она была лишь иллюстрацией к методу счисления.

До Фибоначчи ряд чисел, ныне носящих его имя, был известен индийским математикам — в частности, Ачарье Хемачандре (XI век), который изучал их в связи с поэтическими размерами санскритских стихов. В Китае аналогичные закономерности исследовал математик Ян Хуэй (XIII век).

¶Математические свойства

Основное свойство последовательности определяется рекуррентной формулой: F₀ = 0, F₁ = 1, и Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ при n ≥ 2. Среди прочих свойств чисел Фибоначчи отмечают следующие:

• Золотое сечение. Отношение соседних чисел последовательности при увеличении n стремится к золотому сечению — числу φ ≈ 1,6180339887… Чем больше номер члена последовательности, тем точнее аппроксимация: 8/5 = 1,6, 89/55 ≈ 1,618, 144/89 ≈ 1,61798 и т. д.
• Периодичность по модулю. Остатки от деления чисел Фибоначчи на любое натуральное число n образуют периодическую последовательность (период называется периодом Пизано). Например, по модулю 10 последовательность остатков имеет период 60.
• Формула Бине. n-й член последовательности можно выразить через формулу: Fₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5, где φ = (1+√5)/2 — золотое сечение, а ψ = (1−√5)/2.
• Сумма первых членов. Сумма первых n чисел Фибоначчи равна Fₙ₊₂ − 1.
• Числа Фибоначчи и простые числа. Если n — простое число, то Fₙ делится на Fₚ, где p — простой делитель n. В частности, если p — простое, не делящее 5, то Fₚ ≡ 1 (mod p) или Fₚ ≡ −1 (mod p).

¶Фибоначчи в природе

Числа Фибоначчи многократно наблюдаются в биологических и природных структурах. Наиболее известные примеры:

• Филлотаксис. Число завитков семян подсолнечника, число чешуек на шишках сосны, число лепестков у многих цветов (у фиалки — 5, у маргаритки — 34, у лютика — 13, у астры — 55 или 89) соответствует числам Фибоначчи.
• Спирали. Улитка уха человека, раковины наутилуса, спирали в ураганах и галактиках приближенно описываются логарифмической спиралью, связанной с золотым сечением.
• Размножение пчёл. В пчелиной семье число самцов (трутней) и число предков по мужской линии у каждого трутня соответствует числам Фибоначчи.

Связь с золотым сечением объясняется тем, что такое расположение элементов (например, листьев на стебле) обеспечивает максимальную равномерность заполнения пространства и доступ к солнечному свету.

¶Применение

Числа Фибоначчи и золотое сечение применяются в различных областях:

• Алгоритмы и информатика. Рекурсивный обход бинарного дерева, алгоритм Фибоначчи для нахождения наибольшего общего делителя, структуры данных «дерево Фибоначчи» (используется в приближённых алгоритмах оптимизации).
• Финансы. Уровни Фибоначчи (23,6 %, 38,2 %, 50 %, 61,8 %) широко используются в техническом анализе рынков для определения уровней поддержки и сопротивления.
• Искусство и архитектура. Пропорции, основанные на золотом сечении, применялись (по крайней мере, по мнению ряда исследователей) при проектировании Партенона, в картинах Леонардо да Винчи и в композициях современных художников.
• Композиция и дизайн. Правило третей и золотой спирали в фотографии и графическом дизайне восходят к пропорциям золотого сечения.

¶Интересные факты

• Число 1/φ ≈ 0,618 иногда называют «божественной пропорцией».
• В ряде культур числа Фибоначчи связывают с мистикой и эзотерикой, однако научного обоснования этим интерпретациям нет.
• Самая большая известная цифра числа Фибоначчи, вычисленная с помощью компьютера, содержит миллиарды знаков.
• Числа Фибоначчи возникают в задаче о кроликах, которая изначально была развлекательной, но привела к одному из самых плодотворных понятий в математике.

¶Источники

• Леонардо Пизанский. Liber Abaci (1202).
• Лукас Э. Théorie des nombres (1891).
• Dunlap R. A. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, 1997.
• Posamentier A. S., Lehmann I. The Fabulous Fibonacci Numbers. Prometheus Books, 2007.
• Кондаков Л. И. Математический энциклопедический словарь. М.: Большая российская энциклопедия, 1999.