Число пи — математическая константа¶

Число π (пи) — математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. Иррациональное и трансцендентное число, приблизительно равное 3,141592653589793. Одна из древнейших и наиболее известных математических констант, наряду с единицей и числом e.

¶Определение и свойства

Число π определяется как отношение длины окружности к диаметру для любой окружности в евклидовой плоскости. Эквивалентное определение — площадь круга радиуса 1: S = πr².

Основные свойства:

• Иррациональность — π нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году.
• Трансцендентность — π не является корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами. Доказана Фердинандом фон Линдеманом в 1882 году. Это следствие означает, что задача удвоения куба и квадратура круга неразрешимы с помощью циркуля и линейки.
• Бесконечное непериодическое десятичное представление. После запятой нет повторяющегося периода.

¶История

¶Древний мир

Первые приближения π известны с древности. Вавилонские таблички (около 1900—1600 до н. э.) использовали значение 3 или 25/8 = 3,125. Египетский папирус Ринда (около 1650 до н. э.) содержит значение (16/9)² ≈ 3,1605.

Древнеегипетский папирус Ринда (Британский музей)

Древнеиндийский текст «Шатапатха-брахмана» (VIII—VI вв. до н. э.) упоминает приближение 339/108 ≈ 3,139.

¶Античная Греция

Архимед (около 287—212 до н. э.) в трактате «Измерение круга» впервые применил метод предельных сумм — вписанного и описанного многоугольников с нарастающим числом сторон. С помощью 96-угольников он доказал неравенство 223/71 < π < 22/7, то есть 3,1408 < π < 3,1429. Значение 22/7 (≈ 3,142857) до сих пор используется как рациональное приближение.

Птолемей в «Альмагесте» (II в. н. э.) приводил значение 377/120 ≈ 3,1417.

¶Средневековье и Восток

Аль-Хорезми (IX в.) приводил значение 3,1416, полученное геометрическим методом. Индийский математик Мадхава из Сангамаграмы (XIV в.) разработал первые известные ряды для вычисления π, в частности ряды, ныне известные как ряды Мадхавы — Сринивасы Рамануджана. Японские математики школы Сэки Такакадзу (XVII в.) вычисляли π до десятков знаков.

¶Новое время

В 1706 году английский математик Уильям Джонс впервые использовал греческую букву π для обозначения этой константы. Термин получил распространение после работ Леонарда Эйлера (1730-е годы).

В XIX веке появились аналитические формулы, связывающие π с другими объектами математики:

• Формула Байеса — Лапласа (1770-е) показала связь π с теорией вероятностей.
• Формула Эйлера e^(iπ) + 1 = 0, объединяющая пять фундаментальных констант.
• Формула Бауэра — Лежандра (1798) связывает π с интегралом арктангенса.

¶Вычисление π

¶Исторические рекорды

¶Современные методы

Основные алгоритмы XX—XXI веков:

• Алгоритм Чудновского (1988) — на основе рядов Рамануджана, используется в большинстве современных вычислений.
• Алгоритм Бэйли — Борвейна — Плуффа (BBP) — позволяет вычислять отдельные шестнадцатеричные цифры π без вычисления предыдущих.
• Алгоритмы на основе эллиптических кривых — Чудновский, Ямагути и др.

¶Значение в математике и науке

π встречается во множестве формул, не связанных напрямую с геометрией окружности:

• Интеграл Гаусса: ∫ e^(−x²) dx = √π (по всей прямой) — основа нормального распределения в теории вероятностей и статистике.
• Формула Стирлинга: n! ≈ √(2πn) (n/e)^n — приближение факториала.
• Формула Эйлера — Пуассона: ∏ (1 − p²/k²) = sin(πp)/(πp) — произведение простых чисел.
• Формула Валлиса (1655): π/2 = (2·2·4·4·6·6···)/(1·3·3·5·5···) — одна из первых бесконечных продуктовных представлений.
• Формула Эйлера: e^(iπ) + 1 = 0.
• Гипотеза о простых числах (Гольдбаха — Виноградова) и распределение простых чисел связаны с π через zeta-функцию Римана.

В физике π появляется в формулах гравитации Ньютона, электродинамике Максвелла, квантовой механике (принцип неопределённости Гейзенберга), теории относительности.

¶Культурное значение

¶День числа π

14 марта (3/14 в американском формате дат) отмечается День числа π. В 2009 году Конгресс США принял резолюцию, объявившую 14 марта Национальным днём числа π. В этот же день родился Альберт Эйнштейн (1879).

¶Памятники

В России, в городе Екатеринбурге, на территории Уральского федерального университета установлен памятник числу π — скульптура «Пи» работы Зураба Церетели, открытая в 2000 году. На кольцевой развязке в Индианаполисе (США) каждое 14 марта в 9:26 утра (соответствует 3,14 9:26) проходит акция «π-тайм».

¶Запоминание цифр

Существует мировой рекорд заучивания цифр π: на 2024 год он составляет более 111 000 знаков. В России и других странах проводятся конкурсы на лучшее заучивание.

¶Интересные факты

• 360-градусная мера угла выбрана исторически (вавилонская шестидесятеричная система) и не связана с π; в радианах полный оборот равен 2π.
• Существует иррациональная константа τ = 2π ≈ 6,283185, предложенная как более «естественная» мера полного оборота; в 2010 году предложен День τ (28 июня).
• В 1761 году Ламберт доказал иррациональность π, а в 1882 году Линдеман — трансцендентность, что закрыло древнюю задачу квадратуры круга.

¶История

• Берггрен Л., Борвейн Дж., Борвейн П. «Pi: A Source Book».
• Дашкевич Н. М. «Пи» // Математическая энциклопедия.
• Безбородов Н. С. «Число π».
• Архимед. «Измерение круга».
• Beckmann P. «A History of Pi».