Член математического общества¶

Член — в математике, преимущественно в теории множеств, элементарная единица, входящая в состав множества; отношение принадлежности обозначается символом ∈. Понятие члена также широко используется в алгебре (член многочлена, член последовательности, член пропорции), в теории графов (член отношения) и в логике (член суждения, член силлогизма). В более широком, нематематическом контексте термин «член» обозначает участника организации, сообщества, семьи или коллективного органа, однако в энциклопедической практике данное значение рассматривается в статьях о соответствующих социальных институтах.

¶Отношение принадлежности в теории множеств

В наивной теории множеств, основанной Георгом Кантором в конце XIX века, множество понималось как любое собрание определённых различимых объектов нашей интуиции или мышления. Объекты, составляющие множество, называются его элементами или членами. Запись a ∈ A читается как «a является элементом множества A» или «a принадлежит множеству A». Отрицание принадлежности обозначается как a ∉ A.

Аксиоматическая теория множеств (например, система Цермело — Френкеля) уточняет это интуитивное понятие. Аксиома объёмности утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же членов. Аксиома регулярности (фундирования) запрещает существование бесконечных нисходящих цепочек принадлежности, что исключает парадоксы типа множества, содержащего само себя в качестве элемента.

Символ ∈ был введён Джузеппе Пеано в 1889 году; он представляет собой стилизованную первую букву греческого слова ἐστί («есть»). Позднее этот символ был принят Бертраном Расселом и Альфредом Уайтхедом в монументальном труде «Principia Mathematica» и с тех пор стал стандартом математической нотации.

¶Член последовательности и ряда

В математическом анализе членом последовательности называется каждый отдельный объект, занимающий определённое место в упорядоченном перечне. Последовательность обычно обозначается как (a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …), где aₙ — общий член последовательности, зависящий от натурального индекса n. Например, последовательность чётных чисел имеет общий член aₙ = 2n.

Для числовых рядов — формальных сумм бесконечного числа слагаемых — членом ряда называется каждое отдельное слагаемое. Ряд записывается как Σ aₙ, где aₙ — общий член ряда. Частичной суммой ряда называется сумма первых n его членов. Сходимость ряда определяется через предел последовательности частичных сумм; если этот предел конечен, ряд сходится, в противном случае — расходится.

¶Член многочлена

В алгебре членом многочлена (полинома) называется каждое одночленное слагаемое, входящее в его запись. Многочлен от одной переменной x имеет вид P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, где aₖ — коэффициенты, а aₖxᵏ — члены многочлена. Член нулевой степени a₀ называется свободным членом; член со старшей степенью n — старшим членом, а его коэффициент aₙ — старшим коэффициентом.

Подобными членами называются одночлены с одинаковой буквенной частью; приведение подобных членов — стандартная операция упрощения выражений. В многочлене от нескольких переменных членом считается произведение коэффициента и степеней переменных, например 3x²y — член многочлена от двух переменных.

¶Член пропорции и отношения

В элементарной арифметике пропорцией называется равенство двух отношений: a : b = c : d. Числа a, b, c, d называются членами пропорции; a и d — крайними членами, b и c — средними. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних (ad = bc). Крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний; аналогично находится неизвестный средний член.

В теории отношений (бинарных отношений) членом отношения называется элемент упорядоченной пары, входящей в данное отношение. Если R — бинарное отношение на множестве A, то запись xRy означает, что пара (x, y) принадлежит R; x — первый член, y — второй член отношения.

¶Член в логике

В формальной логике членом суждения (простого атрибутивного высказывания) называется субъект или предикат — логические составляющие суждения. Субъект (S) — то, о чём идёт речь; предикат (P) — то, что утверждается о субъекте. В силлогистике Аристотеля различают больший, меньший и средний члены силлогизма. Больший член — предикат заключения, меньший — субъект заключения, средний член присутствует в обеих посылках, но отсутствует в заключении.

¶Член в комбинаторике и теории графов

В комбинаторике членом сочетания, размещения или перестановки называется каждый отдельный элемент, выбираемый из исходного множества. Число сочетаний из n по k обозначается C(n, k) и вычисляется по формуле n! / (k!(n−k)!).

В теории графов термин «член» используется реже, однако говорят о членах рёбер и вершин в контексте инцидентности: вершина является членом ребра, если она является его концом. В гиперграфах, обобщающих обычные графы, каждое ребро (гиперребро) может содержать произвольное число вершин, которые называются его членами.

¶Нематематические употребления термина

В социальном контексте членом называют лицо, входящее в состав какой-либо организации, партии, клуба, семьи или иного сообщества. Членство может быть индивидуальным или коллективным, почётным или действительным, приобретаться на основании заявления, избрания, назначения или по рождению (член семьи). Членские права и обязанности обычно фиксируются в уставе или регламенте соответствующей организации. В анатомии термин «член» используется для обозначения конечности (верхние и нижние члены тела), а также как устаревшее название полового члена. В грамматике некоторых языков членом называется артикль — служебное слово, выражающее категорию определённости (например, определённый и неопределённый артикли в английском, немецком, французском языках).

¶Примечания

Понятие члена множества является фундаментальным для всей современной математики: через отношение принадлежности определяются операции объединения, пересечения, разности множеств, а также декартово произведение и отображения. В формальной арифметике и теории типов отношение принадлежности моделируется через предикат, а в категории множеств — через морфизмы. В прикладных областях (базы данных, теория информации) понятие членства используется при описании кортежей отношений реляционных баз данных.