Действие вычитания в арифметике¶

Вычитание — это арифметическая операция, обратная сложению: она определяет разность двух чисел. Если сложение объединяет два числа в одно, то вычитание из одного числа (уменьшаемого) другого (вычитаемого) показывает, насколько второе меньше первого. Результат операции называется разностью. В школьной программе вычитание вводится сразу после сложения и служит основой для решения уравнений, задач на сравнение и вычислений с дробями.

¶Основные понятия

В операции вычитания участвуют три элемента:

• Уменьшаемое — число, из которого вычитают.
• Вычитаемое — число, которое вычитают.
• Разность — результат операции.

Записывается операция через знак минус: a − b = c, где a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность. Связь со сложением выражается формулой c + b = a: разность плюс вычитаемое всегда равно уменьшаемому. Это свойство позволяет проверять вычисления и решать уравнения вида x − b = a.

¶Порядок вычитания

Вычитание не является коммутативной операцией: a − b ≠ b − a (за исключением случая a = b). Порядок слагаемых здесь принципиален — перестановка местами уменьшаемого и вычитаемого даёт разный результат, отличающийся по знаку. Следовательно, при вычислениях важно не менять местами числа.

Вычитание также не ассоциативно: (a − b) − c ≠ a − (b − c). Например, (10 − 3) − 2 = 5, а 10 − (3 − 2) = 9. Поэтому при нескольких подряд вычитаниях строго соблюдается порядок действий слева направо либо используются скобки.

¶Вычитание чисел

¶Целые числа

Для натуральных чисел вычитание определено только тогда, когда уменьшаемое не меньше вычитаемого. Если a < b, разность отрицательна, и результат записывается со знаком минус: 3 − 5 = −2. Так расширяется область определения операции до всех целых чисел.

¶Десятичные дроби

Вычитание десятичных дробей выполняется по правилу выравнивания разрядов: числа записываются так, чтобы запятые стояли друг под другом, после чего вычитание производится как у целых чисел, а запятая ставится под запятой уменьшаемого. Пример: 7,4 − 2,15 = 5,25.

¶Обыкновенные дроби

Для дробей с одинаковыми знаменателями разность находится вычитанием числителей при неизменном знаменателе: 5/8 − 3/8 = 2/8 = 1/4. Если знаменатели различны, сначала приводят дроби к общему знаменателю, затем вычитают числители. Пример: 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.

¶Отрицательные числа

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению с положительным: a − (−b) = a + b. Это правило следует из определения противоположного числа и позволяет свести вычитание к сложению.

¶Свойства вычитания

• Связь со сложением: (a − b) + b = a и a − (a − b) = b.
• Вычитание нуля: a − 0 = a.
• Вычитание числа из себя: a − a = 0.
• Разность с нулём: 0 − a = −a.

При сложении и вычитании смешанных чисел сначала вычитают дробные части, а затем целые; если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого, из целой части берут единицу (1 = 8/8 и т. д.).

¶Пример вычисления

Рассмотрим выражение 15 − 8. Уменьшаемое — 15, вычитаемое — 8. Так как 15 больше 8, разность положительна. Отсчитываем от 15 восемь единиц: 15 − 5 = 10, 10 − 3 = 7. Или находим, сколько единиц содержится в числе 15 после вычитания восьми: 15 − 8 = 7. Проверка сложением: 7 + 8 = 15 — верно.

¶Применение

Вычитание используется при решении задач на сравнение величин («на сколько один предмет больше другого»), при вычислении остатка, изменении величины, определении расстояния между точками на числовой прямой, а также при расчёте сдачи, времени и массы. В алгебре вычитание лежит в основе решения линейных уравнений, а в геометрии — при вычислении длин отрезков и разности площадей.

¶Историческая справка

Операция вычитания известна с античности: она описана в трудах древнеегипетских, вавилонских и индийских математиков. В средневековой Европе вычитание входило в число четырёх основных арифметических действий и преподавалось по арифметическим трактатам, в том числе в трудах Леонардо Пизанского («Liber abaci», 1202). Знак минус в современном виде закрепился в XVI веке.

¶Источники

• Колягин Ю. М. «Математика: 5–6 классы».
• Виленкин Н. Я. «Математика. 5 класс».
• Гольц И. М. «Арифметика».
• Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона.
• Математический энциклопедический словарь.