Диаметр круга¶

Диаметр круга — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Диаметр является наибольшей хордой круга и вдвое превышает радиус. Обозначается латинской буквой d и измеряется в тех же единицах, что и радиус (миллиметр, сантиметр, метр и т. д.).

¶Определение и основные свойства

Круг — плоская фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние до которых от центра не превышает радиуса r. Окружность — граница круга. Диаметр, по определению, является хордой, проходящей через центр круга.

Основные свойства диаметра:

• длина диаметра вдвое больше радиуса: d = 2r;
• диаметр — единственная хорда, равная удвоенному радиусу, и потому наибольшая из всех хорд;
• любые два диаметра пересекаются в центре круга;
• окружность делится любым диаметром на две равные части — полукружья;
• все диаметры одного круга равны между собой.

¶Формулы вычисления

Диаметр можно вычислить, зная различные параметры круга.

Постоянное π (пи) равно примерно 3,14159265… и выражает отношение длины окружности к её диаметру. Именно поэтому формула длины окружности записывается как C = πd.

¶Диаметр в формулах геометрии

Диаметр фигурирует в большинстве формул, связанных с кругом и круговыми фигурами:

• Длина окружности: C = πd.
• Площадь круга: S = πr² = πd²/4.
• Площадь сектора при центральном угле α (в градусах): S = (α/360°) · πd²/4.
• Площадь кольца (разности двух окружностей с радиусами R и r): S = π(R² − r²) = π/4 · (D² − d²), где D и d — больший и меньший диаметры.

¶Диаметр в стереометрии

Понятие диаметра распространяется и на объёмные тела. Диаметр сферы — отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр; он равен двум радиусам сферы. Площадь поверхности сферы выражается как S = 4πr² = πd², а объём — как V = (4/3)πr³ = πd³/6.

Для произвольного выпуклого тела диаметром называют наибольшее расстояние между двумя точками тела. Этот параметр применяется в вычислительной геометрии, например при определении габаритов объектов.

¶Диаметр в физике и технике

В физике диаметр используется как характеристика размера объектов и колец волн. В оптике диаметр объектива телескопа определяет светосилу прибора и разрешающую способность: чем больше диаметр, тем больше света собирает телескоп.

В технике диаметр является базовым размером для:

• резьбовых соединений (наружный и внутренний диаметры резьбы);
• валов, подшипников, труб и каналов;
• кабелей и проводов (диаметр определяет сечение и допустимый ток);
• отверстий и свёрл.

В России и странах СНГ размеры резьб стандартизированы ГОСТ, где диаметр указывается в миллиметрах; например, резьба М8 имеет номинальный диаметр 8 мм.

¶Измерение диаметра

На практике диаметр измеряют штангенциркулем, микрометром или индикаторными приборами. Для больших объектов (трубы, резервуары) применяют рулетки и лазерные дальномеры. Косвенно диаметр вычисляют, измерив длину окружности (например, обмотав гибкой лентой) и разделив её на π.

¶Историческая справка

Отношение длины окружности к диаметру изучали ещё в Древнем Египте и Вавилоне; египетский папирус Ринда (около 1650 года до н. э.) содержит приближение π ≈ 3,1605. Древнегреческий математик Архимед (III век до н. э.) доказал неравенства 3 10/71 < π < 3 1/7, что позволило вычислять диаметр по длине окружности с заданной точностью.

¶Интересные факты

• Диаметр Земли по экватору составляет около 12 756 км, по полюсам — 12 714 км; планета слегка сплюснута и потому не является идеальной сферой.
• Крупнейшее кольцо Сатурна имеет внутренний диаметр около 140 000 км.
• В математике доказано, что «выпуклая оболочка» произвольного множества точек плоскости имеет диаметр, не превосходящий диаметра исходного множества.

¶Источники

• Атанасян Л. С. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.
• Кочетков Ю. П. Геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ.
• ГОСТ 2.307-2011. Нанесение размеров на чертежах.
• Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона.