Дифференциальное уравнение¶

Дифференциальное уравнение (сокр. диффур) — уравнение, в котором неизвестной функцией и её производными являются неизвестные функции или их производные. Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом описания законов природы и технических систем: механика, физика, химия, биология, экономика и многие другие области используют их для формулировки и решения задач.

¶Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется соотношение вида

$$F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0,$$

где $y = y(x)$ — неизвестная функция, $y', y'', \dots, y^{(n)}$ — её производные, а $F$ — заданная функция. Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшей производной, входящей в уравнение. Если неизвестных функций несколько, говорят о системе дифференциальных уравнений.

Классификация по типу:

• Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — содержат производные одной неизвестной функции от одной независимой переменной.
• Частные дифференциальные уравнения (ЧДУ) — содержат частные производные неизвестной функции нескольких переменных.

¶Обыкновые дифференциальные уравнения

¶Линейные уравнения

Линейным называется уравнение, в котором неизвестная функция и её производные входят линейно, то есть степени их равны единице и они не перемножаются между собой. Уравнение $n$-го порядка имеет вид

$$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x).$$

Если $f(x) \equiv 0$, уравнение называется однородным. Общее решение линейного уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

¶Нелинейные уравнения

В нелинейных уравнениях неизвестная функция или её производные входят в нелинейной форме (например, умножаются друг на друга, возводятся в степень, входят в состав сложных функций). Общее решение нелинейного уравнения, как правило, найти невозможно; существуют лишь частные методы и качественные приёмы.

¶Методы решения

¶Частные дифференциальные уравнения

Частные дифференциальные уравнения описывают процессы, протекающие в нескольких независимых переменных (время и пространственные координаты). Классические примеры:

• Уравнение теплопроводности — описывает распространение тепла в твёрдом теле.
• Уравнение волн — описывает колебания и распространение волн.
• Уравнение Лапласа — описывает потенциальные поля в области без источников.
• Уравнение Шрёдингера — квантовомеханическое уравнение, описывающее поведение квантовой системы.

Для ЧДУ различают уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов, каждому из которых соответствуют свои методы решения и свойства задачи Коши и краевые задачи.

¶Задачи для дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение само по себе имеет бесконечно много решений; для выделения конкретного решения формулируют дополнительные условия:

• Задача Коши — задаются значения неизвестной функции (и, при необходимости, производных) в одной точке.
• Краевая задача — задаются условия на границе области (например, значения функции или её производной на краю отрезка или поверхности).
• Задача на собственные значения — ищутся значения параметра, при которых нетривиальное решение удовлетворяет краевым условиям.

¶Применение

Дифференциальные уравнения применяются в механике (уравнения Ньютона, Лагранжа, Гамильтона), теории электрических цепей (уравнение Кирхгофа в дифференциальной форме), аэродинамике, теории упругости, популяционной динамике (модель Лотки — Вольтерры), финансовой математике (модель Блэка — Шульца) и других областях.

¶См. также

• Математический анализ
• Теория обыкновых дифференциальных уравнений
• Численные методы

¶Источники

• Камке Э. «Справочник по обыкновым дифференциальным уравнениям»
• Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
• Понтрягин Л. С. «Обыкновые дифференциальные уравнения»
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. «Уравнения математической физики»