Дигамма-функция

Дигамма-функция (также известная как пси-функция, ψ-функция) — это математическая специальная функция, определяемая как логарифмическая производная гамма-функции. Она является одной из полигамма-функций (первого порядка) и широко применяется в теории чисел, математическом анализе, квантовой механике и статистической физике.

Определение

Дигамма-функция ψ(z) определяется для комплексных чисел z, не являющихся целыми неположительными числами (z ≠ 0, -1, -2, ...), как:

ψ(z) = d/dz ln Γ(z) = Γ'(z) / Γ(z),

где Γ(z) — гамма-функция Эйлера. Для натуральных чисел n (n = 1, 2, 3, ...) дигамма-функция выражается через гармонические числа:

ψ(n) = H_{n-1} — γ,

где H_{n-1} = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1) — (n-1)-е гармоническое число, а γ ≈ 0,5772156649 — постоянная Эйлера — Маскерони.

История

Дигамма-функция была введена в математический обиход в XVIII веке Леонардом Эйлером в контексте изучения гамма-функции и её свойств. Систематическое исследование полигамма-функций, включая дигамма-функцию, провёл в XIX веке немецкий математик Леопольд Кронекер. Название «пси-функция» закрепилось благодаря работам швейцарского математика Якоба Бернулли и последующим публикациям в области теории специальных функций.

Основные свойства

Функциональное уравнение

Дигамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению:

ψ(z + 1) = ψ(z) + 1/z.

Это уравнение позволяет выражать значения функции для положительных аргументов через значения для единичного интервала.

Формула отражения

Для комплексных чисел z справедлива формула отражения:

ψ(1 — z) — ψ(z) = π cot(πz).

Связь с гамма-функцией

Из определения следует, что дигамма-функция является логарифмической производной гамма-функции, что позволяет выражать через неё производные гамма-функции.

Асимптотическое поведение

При больших |z| (|z| → ∞) дигамма-функция ведёт себя как:

ψ(z) ~ ln z — 1/(2z) — 1/(12z²) + 1/(120z⁴) — ... (ряд Стирлинга).

Для действительных положительных x: ψ(x) ~ ln x при x → ∞.

Особые точки

Дигамма-функция имеет простые полюсы в точках z = 0, -1, -2, -3, ... с вычетами, равными -1. В окрестности полюса в точке z = -n (n = 0, 1, 2, ...) разложение имеет вид:

ψ(z) = -1/(z + n) + ψ(n + 1) + ... (голоморфная часть).

Представления

Интегральное представление

Для Re(z) > 0 дигамма-функция представляется интегралом:

ψ(z) = ∫₀^∞ (e^{-t}/t — e^{-zt}/(1 — e^{-t})) dt.

Ряд для рациональных аргументов

Для рациональных чисел p/q (q > 0) дигамма-функция выражается через элементарные функции и константы:

ψ(p/q) = -γ — ln(2q) — (π/2) cot(πp/q) + 2 Σ_{k=1}^{⌊(q-1)/2⌋} cos(2πkp/q) ln(sin(πk/q)).

Ряд Дирихле

Дигамма-функция связана с дзета-функцией Римана через ряд:

ψ(z) = -γ — 1/z + Σ_{n=1}^∞ (1/n — 1/(n+z)).

Частные значения

Для некоторых аргументов дигамма-функция принимает известные значения:

• ψ(1) = -γ ≈ -0,5772156649
• ψ(1/2) = -γ — 2 ln 2 ≈ -1,9635100260
• ψ(1/3) = -γ — (π/2√3) — (3/2) ln 3 ≈ -3,1320337800
• ψ(2/3) = -γ + (π/2√3) — (3/2) ln 3 ≈ -1,2424530940
• ψ(1/4) = -γ — (π/2) — 3 ln 2 ≈ -4,2274535330
• ψ(3/4) = -γ + (π/2) — 3 ln 2 ≈ -1,0858608790

Применение

Теория чисел

Дигамма-функция используется при суммировании рядов, связанных с гармоническими числами, и в аналитической теории чисел для оценки сумм вида Σ 1/(n + a). Она входит в выражения для констант, таких как постоянная Эйлера — Маскерони, и применяется в формуле Стирлинга для факториалов.

Математический анализ

В анализе дигамма-функция применяется для вычисления интегралов, содержащих логарифмы гамма-функции, и для разложения рациональных функций в ряды. Она используется в теории специальных функций, например, для выражения производных гипергеометрических функций.

Квантовая механика

В квантовой механике дигамма-функция возникает при вычислении энергетических уровней в потенциалах с кулоновским взаимодействием (например, в задаче о водородоподобном атоме) и в теории рассеяния.

Статистическая физика

В статистической физике дигамма-функция применяется при вычислении статистических сумм для систем с дискретными энергетическими уровнями, а также в термодинамике квантовых газов (например, в модели идеального газа Бозе — Эйнштейна).

Связь с другими функциями

Дигамма-функция является частным случаем полигамма-функций ψ^{(m)}(z) (m-го порядка), где m = 0 соответствует дигамма-функции, а m ≥ 1 — полигамма-функциям высших порядков. Она также связана с дзета-функцией Гурвица ζ(s, a) через соотношение:

ψ(a) = -γ — ζ(1, a) (в смысле аналитического продолжения).

Численные методы

Для численного вычисления дигамма-функции используются асимптотические разложения (ряд Стирлинга) для больших аргументов, рекуррентные соотношения для приведения аргумента к единичному интервалу, а также аппроксимации на основе рядов и интегральных представлений. В современных математических пакетах (MATLAB, Mathematica, SciPy) дигамма-функция реализована как встроенная функция (например, psi в SciPy).

Источники

• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1. — М.: Наука, 1973.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматлит, 1963.
• Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 2. — М.: Физматлит, 1963.
• Olver F. W. J. et al. NIST Handbook of Mathematical Functions. — Cambridge University Press, 2010.