Постоянная Эйлера — Маскерони

Постоянная Эйлера — Маскерони (также известная как постоянная Эйлера, обозначается греческой буквой γ) — это математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом номера этой суммы. Она является одной из фундаментальных констант в анализе, теории чисел и других разделах математики, наряду с числом π и основанием натурального логарифма e.

Определение

Постоянная Эйлера — Маскерони определяется как предел:

\[ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( H_n - \ln n \right) \]

где \( H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \) — частичная сумма гармонического ряда, а \( \ln n \) — натуральный логарифм числа \( n \). Существование этого предела было доказано Леонардом Эйлером в 1734 году, а его численное значение было впервые вычислено с высокой точностью итальянским математиком Лоренцо Маскерони в 1790 году.

История

Открытие Эйлером

В 1734 году швейцарский математик Леонард Эйлер, исследуя расходимость гармонического ряда, заметил, что разность между его частичной суммой и логарифмом стремится к некоторому постоянному значению. Эйлер вычислил эту константу с точностью до 15 десятичных знаков, используя формулу суммирования, позже названную его именем. В 1761 году он опубликовал результаты в работе «De summatione serierum in quibus termini sunt reciproca numerorum primorum» (О суммировании рядов, члены которых являются обратными числами простых чисел). Эйлер обозначил константу буквой C, но впоследствии закрепилось обозначение γ.

Вклад Маскерони

В 1790 году итальянский математик Лоренцо Маскерони в своей книге «Adnotationes ad calculum integralem Euleri» (Примечания к интегральному исчислению Эйлера) вычислил константу с точностью до 32 десятичных знаков. Однако, как выяснилось позже, в его вычислениях была ошибка, начиная с 20-го знака. В 1812 году французский математик Адриен Мари Лежандр впервые предложил обозначать константу буквой γ, и это обозначение стало общепринятым. В честь обоих учёных константа получила своё современное название.

Дальнейшие вычисления

С развитием вычислительной техники точность значения γ постоянно повышалась. К началу XXI века было вычислено более 10 миллиардов десятичных знаков. По состоянию на 2024 год известно более 100 миллиардов знаков, однако, в отличие от π или e, для γ до сих пор не доказано, является ли она рациональным или иррациональным числом. Предполагается, что она трансцендентна, но строгого доказательства этого нет.

Численное значение

Приближённое значение постоянной Эйлера — Маскерони:

\[ \gamma \approx 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992\ldots \]

Для практических расчётов обычно достаточно первых 5–10 знаков: 0.5772156649.

Свойства

Связь с другими функциями

Постоянная Эйлера — Маскерони тесно связана с гамма-функцией Эйлера. Она входит в выражение для производной гамма-функции в точке 1:

\[ \Gamma'(1) = -\gamma \]

Также γ появляется в разложении дигамма-функции (логарифмической производной гамма-функции):

\[ \psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} = -\gamma + \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+z} \right) \]

Интегральные представления

Существует несколько интегральных представлений для γ. Одно из наиболее известных:

\[ \gamma = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x} \right) e^{-x} \, dx \]

Другое представление:

\[ \gamma = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{1 + x} - e^{-x} \right) \frac{dx}{x} \]

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Эйлера — Маскерони связана с дзета-функцией Римана ζ(s) через её разложение в ряд Лорана в окрестности s = 1:

\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n (s-1)^n \]

где γ_n — обобщённые постоянные Стилтьеса. В частности, γ = γ_0.

Неравенства

Для всех n ≥ 1 выполняются неравенства:

\[ \frac{1}{2n+1} < H_n - \ln n - \gamma < \frac{1}{2n} \]

Это даёт оценку скорости сходимости к γ при увеличении n.

Применение

В анализе

Постоянная Эйлера — Маскерони используется в асимптотических разложениях. Например, для гармонических чисел:

\[ H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \cdots \]

В теории чисел

γ появляется в оценках распределения простых чисел. В частности, она связана с константой Мертенса:

\[ \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} = \ln \ln n + M + o(1) \]

где M — константа Мертенса, равная γ + сумма ряда по простым числам.

В физике и инженерии

В статистической физике γ возникает в вычислениях, связанных с распределением Больцмана и квантовой статистикой. В теории вероятностей она используется в асимптотике логарифмических распределений. В инженерных расчётах γ применяется при моделировании процессов с медленной сходимостью рядов.

Интересные факты

• До сих пор не доказано, является ли γ рациональным числом. Если она рациональна, то знаменатель должен быть чрезвычайно большим — по оценкам, больше 10^242080.
• γ — одна из немногих фундаментальных математических констант, для которой не найдено простого геометрического представления (в отличие от π или e).
• В 1962 году американский математик Дэвид Бейли вычислил γ с точностью до 1000 знаков, используя ЭВМ IBM 7090.
• В 2013 году группа математиков под руководством Александра Йи (Alexander J. Yee) вычислила γ с точностью до 100 миллиардов знаков, что стало рекордом на тот момент.
• Постоянная Эйлера — Маскерони входит в список «Математических констант» в книге Стивена Вольфрама «A New Kind of Science» (Новый вид науки).

Источники

• Эйлер Л. «De summatione serierum in quibus termini sunt reciproca numerorum primorum» (1761).
• Маскерони Л. «Adnotationes ad calculum integralem Euleri» (1790).
• Лежандр А. М. «Exercices de calcul intégral» (1812).
• Бейли Д. «Computation of the Euler-Mascheroni constant» (1962).
• Вольфрам С. «A New Kind of Science» (2002).
• Вайсштейн Э. «Euler-Mascheroni Constant» (MathWorld, 2024).