Гамма-функция Эйлера

Гамма-функция Эйлера (обозначается Γ(z)) — это специальная математическая функция, обобщающая понятие факториала на область комплексных чисел (за исключением целых неположительных чисел). Для натуральных чисел n выполняется тождество Γ(n) = (n−1)!. Гамма-функция является одной из важнейших неэлементарных функций, широко применяется в анализе, теории вероятностей, математической физике и теории чисел.

Определение

Гамма-функция определяется для комплексных чисел z с положительной вещественной частью (Re(z) > 0) интегралом Эйлера второго рода:

\[ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt \]

Этот интеграл сходится при Re(z) > 0 и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость, за исключением точек z = 0, −1, −2, −3, …, где функция имеет простые полюсы.

Альтернативное определение, справедливое для всех z, кроме полюсов, даётся произведением Вейерштрасса:

\[ \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n} \]

где γ — постоянная Эйлера—Маскерони (≈ 0,5772156649).

Свойства

Функциональное уравнение

Основное функциональное уравнение гамма-функции:

\[ \Gamma(z+1) = z \Gamma(z) \]

Из него следует, что для целых положительных n: Γ(n) = (n−1)!. Для z = 1: Γ(1) = 1.

Полюсы

Гамма-функция имеет простые полюсы в точках z = 0, −1, −2, −3, … с вычетами:

\[ \operatorname{Res}(\Gamma, -n) = \frac{(-1)^n}{n!} \]

Формула дополнения

Для z, не являющегося целым числом:

\[ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \]

Эта формула связывает гамма-функцию с тригонометрическими функциями.

Формула удвоения Лежандра

\[ \Gamma(z) \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \, \Gamma(2z) \]

Логарифмическая производная

Пси-функция (дигамма-функция) определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

\[ \psi(z) = \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \]

Частные значения

Для некоторых аргументов гамма-функция выражается через элементарные константы:

Значение Γ(1/2) = √π следует из формулы дополнения при z = 1/2.

История

Гамма-функция была введена Леонардом Эйлером в 1729 году в письме к Христиану Гольдбаху. Эйлер рассматривал задачу интерполяции факториала для нецелых значений и предложил интегральное представление. В 1768 году он опубликовал работу, содержащую современное интегральное определение.

Термин «гамма-функция» и обозначение Γ(z) ввёл Адриен-Мари Лежандр в 1814 году. Карл Фридрих Гаусс, Лежандр и Нильс Хенрик Абель развили теорию функции, а Карл Вейерштрасс дал её представление в виде бесконечного произведения.

Связь с другими функциями

Бета-функция

Бета-функция Эйлера B(x, y) выражается через гамма-функцию:

\[ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]

Неполные гамма-функции

Определяются как интегралы с переменным верхним пределом:

\[ \gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} \, dt, \quad \Gamma(s, x) = \int_x^\infty t^{s-1} e^{-t} \, dt \]

Дзета-функция Римана

Гамма-функция входит в функциональное уравнение дзета-функции:

\[ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \]

Применение

Теория вероятностей и статистика

Гамма-функция используется в определении гамма-распределения, распределения хи-квадрат, распределения Стьюдента и других. Плотность гамма-распределения:

\[ f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0 \]

Математическая физика

Гамма-функция появляется в решениях дифференциальных уравнений (уравнение Бесселя, гипергеометрическое уравнение), при вычислении объёмов n-мерных сфер, в квантовой теории поля и теории струн.

Теория чисел

Гамма-функция используется в аналитической теории чисел, в частности, в функциональном уравнении дзета-функции Римана и в формулах для числа классов мнимых квадратичных полей.

Комбинаторика и специальные функции

Гамма-функция обобщает факториал, что позволяет записывать формулы для числа сочетаний и перестановок для нецелых аргументов. Она входит в определения многих специальных функций: гипергеометрической, функции Эйри, функций параболического цилиндра.

Численные методы

Для вычисления гамма-функции при больших значениях аргумента используется приближение Стирлинга:

\[ \Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2\pi}{z}} \left(\frac{z}{e}\right)^z \left(1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} - \cdots \right) \]

Для малых значений применяют рекуррентное соотношение Γ(z+1) = z Γ(z) и таблицы значений. В современных вычислительных системах (MATLAB, Mathematica, SciPy) гамма-функция реализована как встроенная функция с высокой точностью.

Обобщения

Существуют многомерные обобщения гамма-функции: гамма-функция Барнса, двойная гамма-функция, q-гамма-функция (для квантовых групп). В теории представлений групп Ли используется гамма-функция Гаусса—Сельберга.

Источники

• Эйлер Л. Письмо к Х. Гольдбаху, 1729.
• Лежандр А.-М. Exercices de Calcul Intégral, 1814.
• Вейерштрасс К. Zur Theorie der Gammafunktion, 1856.
• Артин Э. Введение в теорию гамма-функции. — М.: ГИФМЛ, 1963.
• Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. — М.: Физматлит, 1963.
• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.