Флуктуации — отклонения от средних значений¶

Флуктуации (от лат. fluctuatio — колебание, волнение) — отклонения физической величины от её среднего или наиболее вероятного значения, возникающие под влиянием случайных причин. Понятие флуктуаций является одним из центральных в статистической физике, теории вероятностей, квантовой механике и теории случайных процессов. Флуктуации проявляются на всех уровнях — от теплового движения молекул до квантовых возмущений электромагнитного поля и колебаний космического фонового излучения.

¶Природа флуктуаций

Флуктуации возникают там, где система состоит из большого числа элементов, поведение которых не полностью детерминировано. В классической статистической физике флуктуации обусловлены хаотическим движением молекул: макроскопические величины (давление, температура, плотность) определяются суммарным действием огромного числа молекул, и их точные значения в данный момент всегда немного отличаются от термодинамических средних.

Квантовая механика добавляет принципиально новый источник флуктуаций: согласно соотношению неопределённости Гейзенберга, одновременно точно измерить пары взаимодополняющих величин (например, координату и импульс, энергию и время) невозможно. Квантовые флуктуации существуют даже в вакууме — в нулевом состоянии квантового поля энергия не равна нулю, а поле испытывает непрерывные возмущения.

¶Математическое описание

Количественно флуктуации описываются с помощью моментов распределения случайной величины. Пусть $X$ — случайная величина, $\langle X \rangle$ — её среднее значение. Тогда флуктуация определяется как $\Delta X = X - \langle X \rangle$. Степень рассеяния характеризуется средним квадратичным отклонением:

$$\sigma^2 = \langle (\Delta X)^2 \rangle = \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2.$$

Отношение $\sigma / \langle X \rangle$ называется относительной флуктуацией. Для системы из $N$ независимых элементов относительная флуктуация величины, пропорциональной сумме вкладов этих элементов, убывает как $1/\sqrt{N}$. Именно поэтому в макроскопических системах (где $N \sim 10^{23}$) флуктуации практически незаметны, а в наносистемах и системах малого числа частиц они становятся существенными.

¶Основные типы флуктуаций

• Термические (тепловые) флуктуации — отклонения макроскопических параметров системы от равновесных значений вследствие хаотического движения молекул. Примеры: давление газа в замкнутом объёме, концентрация примесей в растворе.
• Квантовые флуктуации — возмущения квантовых полей, существующие даже при нулевой энергии. В теории электромагнитного поля проявляются как нулевые колебания, в теории поля Хиггса — как механизм спонтанного нарушения симметрии.
• Шумовые флуктуации — случайные изменения электрического напряжения или тока в цепях, обусловленные тепловым движением носителей заряда (джоунсовский шум) и квантовыми эффектами.
• Флуктуации в космологии — первичные неоднородности реликтового излучения, зафиксированные спутниками COBE, WMAP и «Планк», из которых впоследствии сформировались структуры Вселенной — галактики и сверхскопления.

¶Флуктуационно-диссипационная теорема

Ключевое соотношение, связывающее флуктуации с реакцией системы на внешнее воздействие, — флюктуационно-диссипационная теорема (ФДТ), сформулированная в 1950-х годах. Она устанавливает, что спектральная плотность флуктуаций некой величины в равновесной системе определяется той же функцией, которая описывает линейный отклик системы на слабое внешнее возмущение, и температурой среды. ФДТ позволяет вычислять шумы в физических системах — от резисторов до астрофизических объектов — по их диссипативным свойствам.

¶Роль флуктуаций в эволюции систем

Флуктуации играют важную роль в неравновесной термодинамике. Согласно работам И. Пригожина, в системах, удалённых от термодинамического равновесия, флуктуации могут усиливаться и приводить к возникновению новых упорядоченных структур — так называемых диссипативных структур (вихри в нагреваемой жидкости, химические автоколебания в реакции Белоусова — Жаботинского). В биологии флуктуации лежат в основе генетического дрейфа — случайных изменений частот аллелей в популяции, открытого С. Райтом и Р. Фишером в начале XX века.

¶Флуктуации в квантовой теории поля

В квантовой теории поля флуктуации вакуума приводят к ряду наблюдаемых эффектов. Эффект Казимира — притяжение двух незаряженных проводящих пластин в вакууме, обусловленное разницей нулевых колебаний поля между пластинами и вне их — был предсказан в 1948 году и экспериментально подтверждён в 1997 году. Квантовые флуктуации также объясняют спонтанное излучение атомов и линейное расширение лазерных резонаторов (эффект Шоттки).

¶Применение

Учёт флуктуаций необходим при проектировании чувствительных измерительных приборов: предел чувствительности любого детектора определяется уровнем собственных шумов, то есть флуктуаций. В радиотехнике и электронике важную роль играет джоунсовский шум, открытый Дж. Б. Джонсоном в 1928 году и теоретически объяснённый Г. Найквистом. В финансовой математике флуктуации цен описываются случайными блужданиями и моделями Блэка — Шоулза. В климатологии флуктуации температуры и осадков анализируются методами спектрального анализа для выявления цикличности.

¶Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. — М.: Наука.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир.
• Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. — М.: Прогресс.
• Фейнман Р. Лекции по физике. Том 1. — М.: Мир.
• Зельдович Я. Б., Новиков И. А. Развитая теория гравитации. — М.: Наука.