Формула тонкой линзы в оптике¶

Формула тонкой линзы — фундаментальное соотношение геометрической оптики, связывающее расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокусное расстояние самой линзы. Она применяется для расчёта положения и характера изображения, которое даёт собирающая или рассеивающая линза, и лежит в основе расчёта оптических приборов — от очков и фотоаппаратов до микроскопов и телескопов.

¶Определение и модель тонкой линзы

Тонкой называют линзу, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей и расстояниями до предмета и изображения. В этой идеализации преломление света считается происходящим в одной плоскости — главной плоскости линзы, а сама линза рассматривается как бесконечно тонкая.

Линза характеризуется главной оптической осью — прямой, проходящей через её оптический центр, и фокусным расстоянием F — расстоянием от оптического центра до главного фокуса, точки, в которой собираются параллельные главной оси лучи после преломления (для собирающей линзы) или их продолжения (для рассеивающей).

¶Вид формулы

Для тонкой линзы в воздухе справедливо соотношение:

1/F = 1/d + 1/f,

где F — фокусное расстояние линзы, d — расстояние от предмета до линзы, f — расстояние от линзы до изображения. Величины d и f отсчитываются от оптического центра линзы.

Эквивалентная запись через оптическую силу:

D = 1/d + 1/f,

где D = 1/F — оптическая сила линзы, измеряемая в диоптриях (дптр = м⁻¹). Для собирающей линзы F и D положительны, для рассеивающей — отрицательны.

¶Правила знаков

Корректное применение формулы требует учёта знаков величин. В наиболее распространённом (декартовом) соглашении:

• расстояния отсчитываются от линзы по направлению распространения света;
• d > 0, если предмет действительный (расположен перед линзой);
• f > 0, если изображение действительное (формируется за линзой, где пересекаются сами лучи);
• f < 0, если изображение мнимое (лучи после линзы расходятся, а пересекаются их продолжения);
• F > 0 для собирающей линзы, F < 0 для рассеивающей.

При таком соглашении формула 1/F = 1/d + 1/f работает единообразно для обоих типов линз. Существует и «ньютоновская» форма записи, где расстояния отсчитываются от фокусов.

¶Линейное увеличение

Характер изображения описывается также линейным увеличением Γ — отношением высоты изображения H к высоте предмета h:

Γ = H/h = −f/d.

Знак минус указывает на перевёрнутость действительного изображения. Модуль Γ > 1 означает увеличение, |Γ| < 1 — уменьшение. Для мнимого изображения, даваемого собирающей линзой при d < F, увеличение положительно, изображение прямое и увеличенное.

¶Связь с радиусами кривизны

Фокусное расстояние тонкой линзы определяется её геометрией и материалом. Для линзы с радиусами кривизны поверхностей R₁ и R₂ и показателем преломления n справедлива формула линзы (формула Гаусса в узком смысле):

1/F = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂).

Это соотношение позволяет рассчитать оптическую силу по кривизне поверхностей и свойствам стекла, из которого изготовлена линза.

¶Характерные случаи для собирающей линзы

Для рассеивающей линзы при любом положении действительного предмета изображение получается мнимым, прямым и уменьшенным.

¶Применение

Формула тонкой линзы используется при проектировании и расчёте оптических систем:

• Очковая оптика — подбор линз для коррекции близорукости и дальнозоркости по требуемой оптической силе.
• Фото- и видеотехника — определение положения изображения на матрице или плёнке относительно объектива.
• Микроскопия и телескопия — расчёт увеличения и фокусных расстояний компонентов.
• Проекционная техника — выбор расстояния от слайда или матрицы до экрана.

В оптических приборах, состоящих из нескольких линз, формула применяется последовательно к каждой линзе, при этом изображение, созданное предыдущей линзой, служит предметом для следующей.

¶Границы применимости

Модель тонкой линзы является приближённой. Она справедлива в рамках параксиальной оптики — для лучей, идущих под малыми углами к главной оптической оси. При больших углах и широких пучках возникают аберрации: сферическая, хроматическая, кома, астигматизм. Реальные линзы имеют конечную толщину, что также учитывается более сложными формулами. Тем не менее для большинства практических задач школьного и инженерного уровня формула тонкой линзы даёт достаточную точность.

¶Значение

Соотношение между расстояниями и фокусным расстоянием — одно из базовых в геометрической оптике. Оно связывает геометрию линзы с положением изображения и позволяет решать как прямые задачи (нахождение изображения по известному предмету и линзе), так и обратные (определение необходимого фокусного расстояния по заданному положению предмета и изображения). Формула лежит в основе построения изображений с помощью лучей, проходящих через оптический центр и фокусы.

Источники: учебники по общей физике (И. В. Савельев, Д. В. Сивухин), курсы геометрической оптики, справочные материалы по оптике.