Формула Виллиса¶

Формула Виллиса — это эмпирическое соотношение, используемое в инженерной геологии и механике грунтов для приблизительной оценки глубины зоны активного сжатия (активной зоны) под фундаментом сооружения. Формула устанавливает зависимость глубины распространения деформаций в грунтовом основании от ширины подошвы фундамента и передаваемого на него давления. Она применяется на стадии предварительных расчётов для определения размеров зоны, в которой грунт испытывает существенные напряжения от веса здания или сооружения.

¶История возникновения

Формула была предложена в середине XX века американским инженером-геологом и геотехником Джоном Уиллисом (John Willis). В ходе исследований поведения грунтов под нагрузкой Уиллис эмпирически установил, что глубина, на которой дополнительные напряжения от фундамента становятся пренебрежимо малыми (менее 10–20 % от природного давления), приблизительно равна полуторной ширине фундамента. Это наблюдение было обобщено в виде простого соотношения, которое получило название «формула Уиллиса» (в русскоязычной литературе — «формула Виллиса»).

Первоначально формула использовалась для проектирования мелкозаглублённых фундаментов на песчаных и глинистых грунтах средней плотности. Впоследствии она вошла в состав нормативных документов ряда стран как вспомогательный метод оценки, хотя в современной геотехнике её применение ограничено из-за упрощённого характера.

¶Математическая запись

Формула Виллиса имеет вид:

\[ H_a = k \cdot b \]

где:

• \( H_a \) — глубина активной зоны (зоны сжатия) под подошвой фундамента, м;
• \( b \) — ширина подошвы фундамента (меньшая сторона прямоугольного фундамента или диаметр круглого), м;
• \( k \) — эмпирический коэффициент, принимаемый в зависимости от типа грунта и передаваемого давления.

Для большинства грунтов средней плотности (пески, супеси, суглинки) коэффициент \( k \) принимается равным 1,5. Для слабых грунтов (насыщенные водой глины, илы) значение может увеличиваться до 2,0–2,5, а для плотных скальных оснований — уменьшаться до 1,0–1,2.

В некоторых источниках формула записывается как:

\[ H_a = 1,5 \cdot b \]

что соответствует наиболее распространённому частному случаю.

¶Физический смысл

Формула Виллиса отражает эмпирически установленную закономерность: распределение напряжений в грунтовом массиве под фундаментом имеет форму «груши» или «луковицы» (изобары напряжений). Основная часть вертикальных напряжений (до 80–90 %) сосредоточена в пределах глубины, равной 1,5–2,0 ширины фундамента. Ниже этой зоны дополнительные напряжения быстро затухают и не оказывают существенного влияния на осадку.

Таким образом, активная зона — это слой грунта, в котором деформации от нагрузки фундамента наиболее значительны. За пределами этой зоны грунт практически не сжимается под действием сооружения.

¶Применение в инженерной практике

¶Предварительная оценка осадок

Формула Виллиса позволяет быстро оценить, какой слой грунта будет вовлечён в деформацию. Это важно для выбора расчётной схемы основания: если под активной зоной залегают слабые грунты (торф, ил, текучие глины), необходимо учитывать их влияние на осадку.

¶Выбор глубины заложения фундамента

При проектировании фундаментов на сжимаемом основании глубина заложения часто назначается так, чтобы подошва фундамента располагалась выше активной зоны слабых грунтов. Формула помогает определить минимальную толщину прочного слоя, необходимую для безопасной передачи нагрузки.

¶Определение границ зоны уплотнения

При устройстве песчаных подушек, грунтовых подушек или искусственных оснований формула используется для расчёта толщины уплотняемого слоя. Например, при уплотнении тяжёлыми трамбовками глубина эффективного уплотнения обычно принимается равной 1,5–2,0 диаметра трамбовки, что коррелирует с формулой Виллиса.

¶Оценка взаимного влияния фундаментов

Если два соседних фундамента расположены на расстоянии, меньшем суммы их активных зон, они могут оказывать влияние друг на друга (взаимное наложение напряжений). Формула позволяет предварительно оценить необходимость учёта этого эффекта.

¶Ограничения и критика

Формула Виллиса является эмпирической и приближённой. Её точность невысока, и она не учитывает ряд важных факторов:

• Форму фундамента: для ленточных фундаментов активная зона может быть меньше, для плитных — больше.
• Глубину заложения: при глубоком заложении (например, свайные фундаменты) формула неприменима.
• Неоднородность грунта: слоистость, наличие прослоек слабых или прочных грунтов.
• Величину нагрузки: при высоких давлениях (более 0,3–0,5 МПа) активная зона может увеличиваться.
• Водонасыщенность: в водонасыщенных грунтах деформации могут распространяться на большую глубину из-за порового давления.

В современной геотехнике для точных расчётов используются методы теории упругости (решения Буссинеска, Фламана, Штаермана) и численные методы (метод конечных элементов). Формула Виллиса применяется только для предварительных, оценочных расчётов, а также в учебных целях.

¶Сравнение с другими методами

¶Интересные факты

• В русскоязычной литературе фамилия автора часто транслитерируется как «Виллис» (от англ. Willis), хотя в оригинале произносится как «Уиллис». Встречается также вариант «Уиллиса».
• Формула Виллиса лежит в основе так называемого «правила полуторной ширины», которое используется в строительстве для быстрой оценки глубины промерзания или зоны уплотнения.
• В некоторых национальных нормах (например, в старых советских СНиП 2.02.01-83) формула Виллиса упоминалась как вспомогательный метод для определения глубины сжимаемой толщи.

¶Источники

• Ухов С. Б., Семёнов В. В., Знаменский В. В. «Механика грунтов, основания и фундаменты». — М.: Издательство АСВ, 2005.
• Цытович Н. А. «Механика грунтов». — М.: Высшая школа, 1983.
• Далматов Б. И., Бугров А. К. «Механика грунтов. Часть 1. Основы геотехники». — СПб.: Издательство СПбГАСУ, 2000.
• Willis J. «Foundation Engineering». — New York: McGraw-Hill, 1950.